厂商研发的非合作和合作博弈模型分析(2)
2013-08-18 01:03
导读：改变。 (6)对称性。若V1=V2且{(X1,X2)|(X1,X2)∈F}=F,则*9准1（F，v）=φ2（F，v）。即若双方是对称的,则解也是对称的。 设讨价还价双方是个人理性的，并且F中的
改变。
(6)对称性。若V1=V2且{(X1,X2)|(X1,X2)∈F}=F,则*9准1（F，v）=φ2（F，v）。即若双方是对称的,则解也是对称的。
设讨价还价双方是个人理性的，并且F中的一个配置是个人理性的充要条件是 x≥v。在这里我们关注的是纳什讨价还价解，它由以下定理确定。
定理1：存在唯一的一个解函数φ（·，·）满足上述公理(1)到(5),对于每个讨价还价问题(F,v)，这个解函数都满足*9准（F，v）∈■■（x1-v1）（x2-v2）。
在进行双方合作时我们注意的是双方的投入与其收益之间的关系，为了解决这个问题，在这里采用平等主义解和功利主义解的概念。平等主义解的意思是双方的投入应该是相等的,特别是对两个相同结构的公司来说，只有这样他们的投入才会在同一个起跑线上；功利主义解是从双方这个整体来考虑的，即在平等主义解的基础上，如果双方所获得的总收益越多，则每一方所获得的就会相应地增加。
平等主义解为F中唯一弱有效且满足如下等收益的点x：x1-v1=x2-v2；
功利主义解为任一解函数，他对每个两人讨价还价问题(F,v)都选择两个配置x，使得x1+x2=■（y1+y2）。
显然这两个解不满足尺度协变性公理。为了使他们满足这个公理，特做如下修改：给定任意λ1，λ2，r1，r2，使得λ1＞0，λ2＞0令L(y)=（λ1y1+r1，λ2y2+r2），y∈R2
并且对给定任一两人讨价还价问题（F,v），令L（y）={L(y)|y∈F},于是(L(F)，L(v))的平等主义解为L(x)，其中x是F中唯一弱有效点，且使得λ1(x1-v1)=λ2(x2-v2)，则称其为(F,v)的λ平等主义解，类似的，（L(F),L(v))的功利主义解一定是某个点L(z)，其中z是F中的一个点使得λ1z1+λ2z2=■（λ1y1+λ2y2）。
λ1，λ2称为(F,v)的自然尺度因子，即对任一实质上λ=(λ1，λ2)的(F,v),存在一个向量使得λ＞(0,0)且(F，v)的λ平等主义解同时也是(F,v)的λ功利主义解，而纳什讨价还价解可以被视为均等收益和最大收益这两个原则的一个自然综合，为了便于计算，以下给出这两种解的等价条件。
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定理2：令(F,v)为一个实质上的两人讨价还价问题，并令x为一个满足x∈F，且x≥v的配置向量，则x为(F,v)的纳什讨价还价解的充要条件是，存在严格正的数λ1和λ2，使得λ1x1-λ1v1=λ2x2-λ2v2及λ1x1+λ2x2=■（λ1y1+λ2y2）。
有了以上的理论基础，就可以求出合作博弈的纯策略子博弈完备均衡解，这里同样采用的是倒推法进行求解，在第二阶段,同样可以求出q■■q■■,在第二阶段合作博弈的解即为下列优化问题:■（π■■（x1,x2,q■■q■■）-π■■）（π■■（x1,x2,q■■q■■）-π■■）
解得：x■■=x■■=■(■)2
在合作情况下双方的收益为：
π■■（x■■,x■■,q■■q■■）=■-x■■
π■■（x■■,x■■,q■■q■■）=■-x■■
其中新的消费者剩余为：
S′=1/2（q■■q■■）2
通过计算得到一下结论：
x■■＜x■■，x■■＜x■■ (1)
q■■（x■■，x■■）＜q■■（x■■，x■■）
q■■（x■■，x■■）＜q■■（x■■，x■■）(2)
S′＞S(3)
其中：（1）式说明合作情况下的研发投入比非合作情况下的投入要小；（2）式说明合作情况下的产出比非合作情况下的产出要多；（3）式说明合作情况下的消费者剩余比非合作情况下的要大.
4 比较分析
从非合作博弈和合作博弈的结果看，合作博弈的结果都优于非合作博弈的结果，在非合作博弈中，公司为了减少所进行的研发是每个公司分别分担的，但由于两个公司在第一阶段进行了研发合作，使得两个公司共同分担了研发成本，并且这种分担减少了由于两个公司分别承担时的重复投入，从而使产量提高，消费者剩余变大，这说明消费者从两个公司的合作中得到了好处，也就是运行更为有效，并且在研发的合作上只是在第一阶段进行,而第二阶段两个公司依然在产品市场上进行产品竞争，这种竞争和Cournot模型中的情况是一样的，这里我们并没有讨论两个公司在产品市场进行合作的情形，一方面可能由于两个公司收到区位限制而无法合作，另一方面由于其他的原因而导致这种合作违反，与Cournot模型所不同的是这里多了一个成本是如何减少的这一阶段。从两个公司的收益来看，两个公司的合作可以使得双方的收益增加的可能性变大，每个公司的收益分为两个部分，一部分是在产品市场上的销售收益，再减去进行研发时的投入费用。与非合作情况相比，在合作情况下由于产量增加、价格下降，使得每个公司除去研发投入外的收益变得不是很确定，这部分收益有赖于参数的具体值，不过由于假设反需求曲线的斜率是1，所以这部分收益并不会变化很多，可是收益的另一部分即研发投入(它可以减少成本，从相反的方向看这种成本的减少表现为一种间接的收益)明显的减少了，所以从总体上来说，两个公司之间的收益都增加了。
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