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悖论――自引用――不一致――无(2)

2015-09-04 01:06
“罗素悖论”的通俗形式是“理发师悖论”：一个理发师声称他给且只给不为自己理发的人理发。那么问题来了，这个理发师是否给自己理发？如果他不给自己理发，那么按照他的声称，他应该给自己理发。如果他给自己理发，那么他便具有“不为自己理发”性质的，也就是他不为自己理发。
数学家“日用而不知”的“集合”概念居然存在矛盾，这对于当时的数学家们不啻一记晴天霹雳。打个比方，一个人早上醒来，却发现自己脚下都是沙土。或者正如一个百万富翁突然发现自己的钱都是假钞。或者正如一个小孩放学回来，却发现自己的家人都不见了，自己的家都“空”了。这样的感觉无疑是使人震惊，甚至恐惧的。既然朴素的集合论思想是不严密的，那么数学家们就要建构更加严密的集合论，在朴素集合论的概念里加上一些限制，以防止不适当集合的出现。如此，公理集合论就渐渐发展起来了。其中，ZF公理集合论是比较成熟的一种。ZF公理集合论目前还没出现矛盾，但问题是经过了“第三次数学危机”，如何叫数学家们相信“ZF公理集合论是一致的”？（所谓一致的，就是不矛盾的，或称协调的，也就是不会在一个系统里面既有公式A为真又有公式┐A为真。）
这个问题又扩展到对数学基础的反思，什么样的数学基础是稳固的？数学真理的本质是什么？数学命题有什么意义？它们是建基于什么样的证明之上的？［1］
对于此问题的不同看法，数理逻辑界形成了三派：逻辑主义学派（罗素，怀特海）、形式主义或公理学派（希尔伯特）、直觉主义（布劳威尔）学派。本文主要涉及形式主义学派。
希尔伯特大力提倡数学的形式主义（即公理化）。在那个时期，初等几何、算术、群、环、域、拓朴空间等数学系统都得到了公理论。回顾历史，我们还可以惊奇地发现，哲学家斯宾诺莎尝试过用公理化的方法来表述伦理学。
希尔伯特提出了希尔伯特方案，也就是把古典数学的每一分支都形式化，并且证明这些数学公理系统的协调性和完全性。所谓协调性，也就是一致性，即这个形式系统内部不会出现矛盾。所谓完全性，是指这个形式系统里面的任一公式A，或者A是可证的，或者是┐A可证的。
正当希尔伯特满怀信心要一劳永逸地解决数学基础问题时，哥德尔不完全性定理的证明惊醒了形式主义学派的美梦。
3．哥德尔
哥德尔（1906－1978）在中国是值得大吹特吹的人物，国外一般认为哥德尔与爱因斯坦都是上世纪最有影响的科学家。特别是在数学界和人工智能界，甚至有很多教授认为哥德尔高于爱因斯坦。但在国内，哥德尔远不如爱因斯坦名声响。究其原因，除了哥德尔理论的艰涩外，可能还由于哥德尔本人性格的内向。
哥德尔（Godel）一般被认为是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家（或许还加上一个弗雷格，他是现代逻辑的创始人）。他有几个主要的贡献：一阶逻辑的完备性定理，哥德尔第一、第二不完全性定理、连续统假设与ZF公理集合论的协调、旋转宇宙里时间旅行的可能、把莱布尼兹的上帝存在论证明转化为逻辑形式。在他的晚年，他对哲学产生了深厚的兴趣，尤其是康德、莱布尼兹和胡塞尔的哲学理论。（哥德尔晚年的转向，其背后包含有什么东西呢？）
在第一不完全性定理中，哥德尔证明了，任一包含算术的形式系统，它的一致性和完全性是不可兼得的。或者这样来说，如果一个包含算术的形式系统是一致的，那么这个系统必然是不完全的。所谓不完全，就是指存在一个公式A，使得A和┐A在这个系统内都不可证。
在哥德尔第一不完全定理中，哥德尔创造性地应用了很多理论，如递归函数，哥德尔编码，对角化，自引用等。在可计算的意义下，N上可表达性、递归函数、图灵可计算（也就是目前的计算机可计算）、lambda函数等计算模型都是等价的。正因为这些计算模型的等价性，哥德尔的工作经常被借鉴到其它计算模型上去。 中国大学排名
4．自引用
哥德尔在第一不完全性定理的证明中，构造了一个公式G，使得这个G是真的但在这个系统内却是不可证的。这个G可以理解为以下的汉语描述：“这个数论语句在系统中是不可证的。”这个G是不可证的，也就是“这个数论语句在系统中是不可证的”在系统中是不可证的。在这里，我们看到了“自引用”（或称“自指”，“怪圈”）。