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Peirce:对逻辑代数的研究(2)

2016-04-22 01:01

他说，这样的定义虽然未区分开包含关系和包含于关系，但为形式逻辑目的，却是足够的。Peirce看到包含于符号具有逻辑上的优点：首先，原来布尔的符号只能表达，物的某种描述不存在，而不能说某物不存在；而使用包含于和非包含于（ —<（超文本阅读注释：要在这一符号上方加一横线）），“Griffin(一种怪兽) —<　喷火”意思就是，“不存在不喷火的Griffin”；同样“动物 —<（超文本阅读注释：要在这一符号上方加一横线）水生的”意思为，“存在不是水生的动物”。Peirce这种特别的解释很容易使我们想起前些年一直讨论的传统三段论中的主词存在问题；同时符号“—<”的解释也使我们联想到现在逻辑研究中广泛运用的实质蕴涵符号“→”（其实，关于实质蕴涵，Peirce有更清楚的表达：从“x—< y”推到“是y（超文本阅读注释：要在这一字母上方加一横线）的x —<（不可能）”）。其次，在布尔的演算中经常用到的相等号或等值号“ = ”是一种更加复杂，即有着更大内涵（comprehension）或深度(depth)的关系，而相比之下，“—<”则更为简单方便，我们可以说A=B蕴涵A—
关于Peirce的“—<”符号，还有一点值得一提。在谈到这一系词的三个属性时，Peirce做出了卓有见识的引申。他说，对于包含（containing）关系，我们可有着不同于通常“—<”的理解，从而会得到与之平行的几种逻辑学说。若令 a—<´ b意为a同b一样小，除了在a同某物一样小时而b不能同这一物一样小之外，a 、b之间没有什么不同；则我们可得到数学或量的逻辑学。若令a—<´´ b意为所有b是a，除了有a能谓述的某物而b不能谓述之外，a 、b之间没有什么不同；这样我们所得到的，在另一方面就仅仅是逻辑学。若令a—<´´´ b表示b是a的后承，除了两者导出的后承不同之外，a 、b没有什么不同；那么我们得到的将是条件句的逻辑学。这样的一种解释，一方面显示了“—<”或蕴涵在逻辑科学中的基础性的重要作用，另一方面也从一极为特别的角度论证了逻辑的多类型。此外，其与后来模型论的思想也有着本质上的吻合。 

二、包含（inclusive）意义下的逻辑加（符号为“+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）”，有时直接用“+”）的使用。Peirce这样定义逻辑加：

1、A—< A +（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号） B；

2、B—

3、若A—
符号“ +（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号） ”是Peirce在1867年引入的，而（Peirce称）Jevons在1864年，R.Grassmann在1872年，Schröder在1877年，McColl于1877年也相继独立地提出了这一用法，即不管相互间是否相斥，都使用“+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）”，把不同的项加在一起。这也就是我们常说的区别于算术加的逻辑加，或者如现代逻辑中所说的相容析取。譬如“欧洲人 +（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号） 共和党人”就表示，把所有欧洲
人和共和党人算在一起，而不用想尽办法，像在算术中一样，把共和党人加上两次。但若是Boole和Venn，他们就会写成“欧洲人+ （超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）非欧洲人的共和党人”或“非共和党人的欧洲人+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）共和党人”，这对于逻辑来说，显然是种不必要的麻烦 。 

三、对“1”的理解。同布尔（而论域的概念最初是由De Morgon引入的）一样，Peirce在逻辑上把“1”看作有限论域（limited universe of discourse），而不是无限的全体域（an unlimited universe）。他认为，无限域将包括逻辑上可能的所有领域。在这样一个全域中，每一全称命题，如果不是重言的，就是假的；每一特称命题，如果不是荒谬的，就是真的。我们的谈话很少涉及这种全域，我们倒是经常想起物理上可能的，或历史上存在的，或有某种虚构的世界，或是其它的有限域。这样的一种观点可认为是BPS路线的一特色之处，年仅23岁就去世的法国著名逻辑学家Herbrand正是在一方面接受并重视了这样一种认识，另一方面精心研究《数学原理》系统的基础上，在谓词逻辑等现代逻辑理论上做出了突出贡献。事实上，在逻辑史上这样一种观点支持了包括可能世界理论（模态逻辑）、模型论、逻辑语义学和元逻辑理论等在内的一系列理论。然而，与以上有限域的认识截然不同的观点确实在过去以及现在的逻辑学家中存在，最为典型的是Wittgenstein，其名言“一切真命题都是重言式”和“逻辑命题描述世界的脚手架”的提出，正是基于一种无限域的认识；他把现实世界与我们的语言（认为，我们只有一种自然语言或人工语言）一一对应起来，认为我们对任何系统都只有一种解释，任何时候我们都不能跳出我们唯一的语言之外去言说我们自己。 

四、其它符号。 以下我们将通过定义或描述的方法列出Peirce的另一些符号：逻辑等即等值“ = （超文本阅读注释：要在这一符号下方加一逗号）”，与算术上的等号相区别，但Peirce在很多时候，干脆把它写为“ = ”，只是在逻辑上仍与符号“=（超文本阅读注释：要在这一符号下方加一逗号）”含义一样。逻辑乘（符号为“，”）定义为：

1、A，B—< A；

2、A，B—< B；

3、若C—