藏族古代的对称图形——雍仲符号和菱形研究((2)

　　菱形是藏族喜爱的又一个对称图形。它在藏族文化中出现的时间比雍仲符号早得多。根据考古资料发现新石器时代已经出现了许多轮廓近似菱形的石器。卡若遗址出土的陶器上纹饰有许多菱形，它们是人们主动地刻画或压印在陶器上的。这就非常强烈地表明，远古藏族文化中已经有了菱形这个对称图形。曲贡遗址的陶器纹饰非常丰富，除了菱形外，更有许多组合起来的图形。如图4（a）是在菱形内嵌套一个菱形，称为重菱形；图4（b）是在菱形内填上两个同心圆，其圆心与菱形的中心重合；图4（c）是一个陶罐的颈部的顶视图，它将菱形与折线组合起来，沿颈部分布，大约是三等分的。

　　菱形关于它的两条对角线是对称的。沿着它的一条对角线折一下，可以把它的一半（三角形）重合到它的另一半（三角形）去。在一个菱形内嵌套上另一个菱形，使它们有相同的对角线，就能保持这种对称性。

　　前面说过，祀和断绕中心转动90°，180°，270°，360°，都是不变的。菱形绕着它的中心180°或360°乃是不变的。圆具有最好的对称性，它绕圆心旋转任意角度都是不变的。以菱形的中心为圆心，画上一个或两个圆，与菱形组合在一起，不影响整个图形的对称性。

　　图4(c)就更复杂了。每个菱形是对称的图形。两个菱形与折线组成的也是对称图形。把三个这样的图形均匀地分布在两个同心圆之间，整个构成一个对称图形。当它绕圆心旋转120°或240°或360°时，整个图形具有不变性。

　　藏族先民们为什么喜欢这些图形？她们具有某种对称性，是一个主要的原因。在叙述曲贡遗址发掘情况的文献中，作者写道：“曲贡人对菱形纹的偏好，似乎表明这纹饰里有一种我们不可知的秘密，代表当时人们的信仰与追求。”距今4000年前已经出现的这个图形，表示人们对美的追求，而从美的方面考察，对称性是很重要的一个因素。

　　除了菱形、重菱形、菱形与圆、菱形与折线的复合图形外，还有一种变化的图形也很普遍。把一个菱形沿着它的边的方向移动，得到许多菱形，构成一个美丽的图案。例如画在扎什伦布寺墙上的图案。它也出现在重大的展览会和各种仪式上。（见图5）

　　由于自然界（包括人体本身）普遍存在着对称现象，藏族先民们对此逐步有了认识，慢慢地形成了对称的观念，然后在绘画、刻印等文化方面开始应用。这不能说距今四千多年前，就有了数学上的对称的概念。何时西藏数学较完整地反映了这种对称观念呢？它是本身产生的还是外界传入的？这些都需要进一步探讨。

　　考古资料表明，藏族先民们在四千多年前就对菱形有了应用。对它特别喜爱的原因之一，是它具有对称性。在陶器上刻画的纹饰还有菱形与其他图形的组合，是一种更复杂的对称性的应用。后来，距今三千多年前的岩画中出现了卐和卍。它们是全等的图形。在关于雍仲图形的各种说法中，我们认为把它们都称为雍仲更合理一些。

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