莱布尼茨数学思想的统一性(1)(3)
2013-07-08 01:38
导读：一阶差 １， １， １， １， １， １， … ｄｙ 二阶差 ０， ０， ０， ０， ０， … 自然数平方 ０， １， ４， ９， １６，… ｙ 一阶差 １， ３， ５，
一阶差 １， １， １， １， １， １， … ｄｙ
二阶差 ０， ０， ０， ０， ０， …
自然数平方 ０， １， ４， ９， １６，… ｙ
一阶差 １， ３， ５， ７， … ｄｙ
二阶差 １， ２， ２， ２， … ｄ（ｄｙ）
三阶差 １， ０， ０， …
他把这些与微积分联系起来：一阶差相当于ｄｙ，它们的和等于ｙ，如１＋３＋５＋７＝１６。莱布尼茨认为，这种和与差之间的互逆性，与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值，而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算时，已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。（［１０］，ｐ．３９２）由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点，而不是几何出发点。（如［７］，ｐ．１０１）
为解决求积问题，莱布尼茨把流动纵坐标是ｙ的平面曲线下的曲边梯形的面积用符号ｙ表示。这样，曲线的纵坐标就与面积变量明显地联系起来。过了几年，他便用“ｓｙｄｘ”表示面积，“∫”是“Ｓｕｍ（和）”的第一个字母“Ｓ”的拉长。
在求量的差即微分方面，莱布尼茨先是引进了符号“ｘ／ｄ”表示ｘ的微分，意思是求“差”要关系到量的同次的降低，并且他还认为，如果同时出现不同阶的微分，则只留下最低阶的，而把所有高阶的微分舍去。至于这样做的理由，莱布尼茨虽提供了多种解释，但都不充分，其实毋宁说他是当作“公理”来使用的。后来，他将“ｘ／ｄ”改为“ｄｘ”，一直沿用至今。
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从上述思路出发，莱布尼茨给出了微积分的基本公式：
ｄ（ｘ±ｙ）＝ｄｘ±ｄｙ （１）
ｄ（ｘｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ （２）
ｄ（ｘ／ｙ）＝ｙｄｘ－ｘｄｙ／ｙ［２］ （３）
对于（２），他的推导是，令ｘ、ｙ分别成为ｘ＋ｄｘ、ｙ＋ｄｙ，则
（ｘ＋ｄｘ）（ｙ＋ｄｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ＋ｄｘｄｙ＋ｘｙ于是 ｄ（ｘｙ）＝（ｘ＋ｄｘ）（ｙ＋ｄｙ）－ｘｙ＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ＋ｄｘｄｙ
ｄｘｄｙ是比ｘｄｙ＋ｙｄｘ高一阶的无限小量，可以舍去，所以 ｄ（ｘｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ
用同样的方法也可推导出公式（１）和（３）。
有了微分法的基本运算律，对整指数的幂函数ｘ［ｎ］就有ｄｘ［ｎ］＝ｎｘ［ｎ－１］。又由于求和是求差的逆运算，所以还有∫ｘ［ｎ］ｄｘ＝１／ｎ＋１ｘ［ｎ＋１］ （ｎ≠－１）。这两个公式虽只对ｎ是正整数情况而言，但莱布尼茨却断然宣布它们当ｎ取其它数值时仍然成立。接着，莱布尼茨陆续地推导出指数和对数等超越函数的微分公式。
莱布尼茨的微积分算法是在解决几何和物理问题的过程中建立和完善起来的。他边建立新算法，边用这种算法解决当时物理学与几何学提出的疑难问题，有时还用老方法来解决问题以检验新方法的正确性。除了切线问题、极值问题、曲率问题、求积问题等几何问题，他还曾用新方法证明了光的折射定律。所有这些都显示了新算法比传统方法更加优越。
除了以上成果，莱布尼茨在微积分方面的具体研究还有：（１）复合函数的微分法则；（２）弧微分法则ds=根号下dx[,2] dy[,2]；（３）对数函数和指数函数的微分法则；（４）在积分号下对参变量求微分的方法；（５）曲线绕ｘ轴旋转所成的旋转体体积公式Ｖ＝π∫ｙ［２］ｄｘ；（６）求切线、求最大值最小值以及求拐点的方法；（７）讨论曲率，密切圆和包络理论。（［８］，ｐｐ．３９４～３９５）
本文来自中国科教评价网 莱布尼茨微积分研究的背景与当时整个西欧的数学家们是一致的，他的工作基础也是建立在对无穷小的分析上。因此，此后很长一段时间，人们一直把微积分叫无穷小分析。由于莱布尼茨从有限差值开始无穷小的运算，因而他最初曾试图将实无穷小代之以与其成比例的有限数量，即不用ｄｘ、ｄｙ本身，而用它们的比值ｄｙ／ｄｘ。他以为把ｄｘ、ｄｙ看成有限量，问题就解决了。但是，比值ｄｙ／ｄｘ的获得同样需要说清ｄｘ、ｄｙ两个量本身的实际情况，而不能有半点含糊。于是，莱布尼茨提出用“充分大”和“充分小”去代替无穷大和无穷小。他解释说：“我们可以不用无穷大、无穷小，而用充分大和充分小的量，使得误差小于给定的误差限度，所以我们和阿基米德方式的不同之处仅仅在于表达方面，而我们的表达更为直接，更适合于发明家的艺术。”（［８］，ｐ．４０１）为了更好地说明这一点，他不得不诉诸于感性的直观——物理或几何模型，用现实事物中量的不同层次的相对性解释无穷大和无穷小。所以有人说，莱布尼茨其实是半个理性主义，因为他在理性困厄之时，不得不借助经验。（［９］，ｐ．１３０）例如，他认为点同直线不能相比，所以点加到直线上从直线上去掉等于不加也不减。于是，“当我们谈到有不同阶的无穷大与无穷小时，就象对恒星的距离而言，把太阳看成一个点；对地球半径而言，把普通的球看做一个点。这样，恒星的距离对于普通球的半径而言是无穷的无穷大，或无穷倍的无穷大。”［１０］而“如果你不承认无限长、无限短线段具有形而上学的严密性，也不承认它们是实在的东西，那么你一定可以把它们当作一种能够缩短论证的思想的东西来使用，正如在普通分析中使用虚根一样，……老实说，我不十分相信除了把无限大、无限小看作理想的东西，看作有根据的假设，还有什么必要去考察他们，”甚至“我不相信确有无限大量和无限小量存在，它们只是虚构，但是对于缩短论证和在一般叙述中是有用的虚构。”［（１０）］可见，莱布尼茨主要是把微积分当作了求得正确结果的一种方法，只要按这个方法去做，就能得出正确的结果，而不必关心基本概念怎样。事实上，莱布尼茨对于微积分基础的这种看似冒失的大胆相信态度，反倒可能促进了微积分及其应用的迅速发展。（［１１］，ｐ．３５９）共2页: 1 [2] 下一页 论文出处(作者):
