基于IEEE 754的浮点数存储格式分析研究(1)
2014-04-06 01:03
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摘 要 浮点数的表示和存储直接影响计算机的结构和性能，IEEE
摘 要 浮点数的表示和存储直接影响计算机的结构和性能，IEEE 754是浮点运算部件事实上的工业标准，是计算机上使用最为广泛的浮点标准。文章在阐述了浮点数的基本概念和IEEE 754浮点数的表示形式及其格式的基础上，比较深入的比较、分析和研究了Intel x86和SPARC结构计算机上使用的三种IEEE浮点数的存储格式。 关键词 IEEE 754；浮点数；浮点格式；浮点存储格式；规格化0引言 IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，电子
电气工程师协会）在I985年制定的IEEE 754（IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 ）二进制浮点运算规范，是浮点运算部件事实上的工业标准。许多计算机用户有机会在Intel x86和SPARC 或Power PC机之间交换二进制数据，所以对照Intel x86和SPARC结构计算机的数据表示及相关程序设计语言，讨论IEEE 754浮点数存储格式的细节是有意义的。本文对浮点数、IEEE 754浮点数的表示方法、规格化处理等进行了分析，重点分析、比较了Intel x86和SPARC结构计算机IEEE 754浮点数的存储格式。1 浮点数 在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表示实数，但是到目前为止使用最广泛的是浮点表示法。相对于定点数而言，浮点数利用指数使小数点的位置可以根据需要而上下浮动，从而可以灵活地表达更大范围的实数。 浮点数表示法利用科学计数法来表达实数。通常，将浮点数表示为 ± d.dd…d ×βe，其中d.dd… d 称为有效数字（significand），它具有 p 个数字（称p位有效数字精度），β为基数（Base），e为指数（Exponent），±表示实数的正负[1,2]。更精确地，± d0.d１d２…dp－1 × βe， 表示以下数±（d0＋d1β－1＋… ＋dp－1β－（p－1））βe，（0≤di＜β）。 对实数的浮点表示仅作如上的规定是不够的，因为同一实数的浮点表示还不是唯一的。例如，1.0×102 ，0.1 ×103 ，和0.01 ×104 都可以表示100.0。为了达到表示单一性的目的，有必要对其作进一步的规范。规定有效数字的最高位(即前导有效位)必须非零，即0＜d0＜β。符合该标准的数称为规格化数（Normalized Numbers），否则称为非规格化数(Denormalized Numbers)。 2 IEEE 754浮点数与其浮点格式2.1 实数的IEEE 754表示形式 一个实数V在IEEE 754标准中可以用V＝(－1)s×M×2E 的形式表示[3,4]，说明如下： (1)符号s(sign)决定实数是正数(s＝0)还是负数(s＝1)，对数值0的符号位特殊处理。 (2)有效数字M（significand）是二进制小数，M的取值范围在1≤M＜2或0≤M＜1。 (3)指数E（exponent）是2的幂，它的作用是对浮点数加权。2.2 浮点格式 浮点格式是一种数据结构，它规定了构成浮点数的各个字段，这些字段的布局，及其算术解释[2]。IEEE 754浮点数的数据位被划分为3个字段，对以上参数值进行编码： (1)一个单独的符号位s直接编码符号s。 (2)k位的偏置指数e（e＝ek－1…e1e0）编码指数E，移码表示。 (3)n位的小数f(fraction)（f＝fn－1…f1f0）编码有效数字M，原码表示。2.3 浮点数的分类 根据偏置指数e的值，被编码的浮点数可分成三种类型。 (1)规格化数 当有效数字M在范围1≤M＜2中且指数e的位模式ek－1…e1e0既不全是0也不全是1时，浮点格式所表示的数都属于规格化数。这种情况中小数f（0≤f＜1 ) 的二进制表示为0. fn－1…f1f0。有效数字M＝1＋f，即M＝1. fn－1…f1f0 (其中小数点左侧的数值位称为前导有效位) 。我们总是能调整指数E，使得有效数字M在范围1≤M＜2中，这样有效数字的前导有效位总是1，因此该位不需显示表示出来，只需通过指数隐式给出。需要特别指出的是指数E要加上一个偏置值Bias，转换成无符号的偏置指数e，也就是说指数E要以移码的形式在存放计算机中。且e、E和Bias三者的对应关系为e=E＋Bias，其中Bias=2k－1－1。 (2)非规格化数 当指数e的位模式ek－1…e1e0全为零（即e＝0）时，浮点格式所表示的数是非规格化数。这种情况下，E=1－Bais，有效数字M=f=0. fn－1…f1f0 ，有效数字的前导有效位为0。非规格化数的引入有两个目的。其一是它提供了一种表示数值0的方法，其二是它可用来表示那些非常接近于0.0的数。 (3)特殊数 当指数e的位模式ek－1…e1e0全为1时，小数f的位模式fn－1…f1f0全为0（即f=0）时，该浮点格式所表示的值表示无穷，s=0 时是＋∞，s=1时是－∞。当指数e的位模式ek－1…e1e0全为1时，小数f的位模式fn－1…f1f0不为0（fn－1、…、f1、f0、至少有一个非零即f≠0）时，该浮点格式所表示的值被称为NaN（Not a Number）。比如当计算 或∞－∞时用作返回值，或者用于表示未初始化的数据。3 IEEE 754浮点存储格式 与浮点格式对应，浮点存储格式规定了浮点格式在存储器中如何存放。IEEE标准定义了这些浮点存储格式，但具体选择哪种存储格式由实现工具（程序设计语言）决定。汇编语言软件有时取决于所使用的存储格式，但更高级的语言通常仅处理浮点数据类型的语言概念。这些浮点数据类型在不同高级语言中有不同的名字，相应的IEEE格式如表1。表1 IEEE 格式和语言类型
