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基于Isabelle的证明信息系统设计(1)

2014-10-26 01:26 摘 要 Isabelle定理证明器中的证明步骤和证明状态是非常具有参考价值的证明信息。然而目前没有工具可以有效管理这些信息。本文给出一个基于Isabelle的信息系统设计方案。利用该系统的实现，用户可以提取、保存和搜索这两种证明信息。 关键词 定理证明；证明信息；Isabelle；关系数据库 【Abstract】 Proof steps and proof states in the theorem prover Isabelle are very referable proof information ， but now there is no tool that can manage them efficiently. This paper presents a design of a proof information system based on Isabelle. By using an implementation of the system， users can extract， save and search for the two kinds of proof information. 【Key words】Theorem Proving；Proof Information; Isabelle; Relational Database 1 引言 Isabelle[1]是一种著名的交互式定理证明器，目前已被应用于数学形式化、逻辑研究、计算机软、硬件以及安全协议的验证等多个领域。使用Isabelle时面临的主要困难是编写定理的证明过程，这一般需要专家级的用户才能完成，这也因此限制了Isabelle进一步的普及。 Isabelle包含许多有重要参考价值的证明信息，例如含有证明方法的证明步骤（proof step），反映当前证明形势和效果的证明状态 (proof state)。这些信息都有助于用户开发新的证明文档，然而目前Isabelle并不提供查询这些信息的功能。 目前已经出现了一些专门为Isabelle构建信息数据库方面的工作与研究。Suzuki[2]为Isabelle建立了一个证明状态数据库，但其中的数据来源于Isabelle的显示，包含的信息较少且数据的提取比较受限。另外，网络上存在一个Isabelle的理论文件(theory file)库[3]，其中收集了大量的在不同领域应用Isabelle开发的证明脚本。要浏览这些文档的具体证明过程，必须用Isabelle载入并执行文档。这一过程是比较耗时并且需要用户具有运行Isabelle的环境。 本文提出了一个证明信息系统。该系统以关系数据库为基础，并提供可分别提取证明步骤和证明状态的工具，目标是为用户提供一个简易的证明信息搜索平台。该系统面向的用户主要是用Isabelle来编写证明文档的专家，也可被一般用户用来作为学习了解Isabelle证明过程以及一般数学逻辑知识理论的一个工具。 2 Isabelle Isabelle采用的编程语言是函数式编程语言ML[4]（Meta Language）。Isar是Isabelle中专门用于书写证明过程的语言，用这种语言编写的证明脚本具有一定的可读性。 以下是与Isabelle相关的重要术语及其定义: （1）证明脚本：为了证明定理而由用户用Isar语言编写的证明文本。 （2）证明行：一行证明脚本。 （2）理论文件：主要是为证明某一个理论中部分或所有定理编写的证明脚本文件。除定理及其证明之外，文件中还有相关的常数和操作符定义、注释等。 （3）证明步骤：完成一步证明的证明脚本。定理的所有证明步骤组成一个定理的完整证明脚本。以下是HOL（高阶逻辑）中与函数相关的理论文件Fun.thy中的引理expand_fun_eq的证明步骤： 0) lemma expand_fun_eq: “f = g” = (! X. f(x) = g(x))” 1) apply (rule iffI)　　　　　　　　　　　　　　　 2) apply (simp (no_asm_simp))　　　　　　　　 3) apply (rule ext， simp (no_asm_simp))　　4) done　　　其中，apply和done是Isabelle的两个证明关键字，apply表示应用；done表示结束当前证明；apply后面的语句表示应用的具体证明策略入规则、方法等。 （4）证明状态：证明时产生的状态，主要信息是当前剩余的子目标。图1是证明引理expand_fun_eq时执行到第1步时的证明状态显示。