评价网 > 科教论文 > 文学毕业论文 > 文学论文 > 正文

; 摘要： 本文从自然数及其记数法的基本概念出(5)

2013-04-30 02:44

; 自然数的序数理论是利用两个的基本概念第一个(first)与下一个(next)以及四个公理来定义的。第一个通常可以记为１，不过不如记为n0更有普遍意义。所谓自然数（序数），是指满足以下性质的集合Ｎ中的元素：

　　１）n0是Ｎ的一个元，它不是Ｎ中任何元的后继者，若n的后继者用n＋来表示，则对于Ｎ中的任意元n, n＋不等于n0。（注：n0是指定的顺序起点而不作证明）。

;　　２）对于Ｎ中任意元n, 存在而且仅存在一个后继者n＋。

; ; ３）对Ｎ中任何两个元n和m, 若n＋＝m＋，则n＝m.

; ４）Ｎ的一个子集Ｍ，若具有以下性质：

; ① n0属于Ｍ；

; ② 对于任意m属于Ｍ，必有m+也属于Ｍ；则Ｍ＝Ｎ

; ; 皮亚诺公理指出，要建立一个顺序概念首先要选定一个顺序的起点“第一个”(first)，其次需要规定一个顺序操作“下一个”(next)或称为“后继者”，有了这两个概念，就能定义一个序列，也就是序数。序数概念是现代数学的基础概念，具有广泛的适用性。

; 下面以排队为例对皮亚诺公理进行说明，理论上队列可以无穷长。其中公理一是说：第一个是绝对的，不能存在“第一

：科教论文网毕业论文论文网

　　个”的上一个，比如排队时你排在前面第一个，就意谓着队列中没有比你排在更前面的。

; 公理二是说：队列中任何人的下一个必有但也只能有一个，不能多个 。

; 公理三是说：对任何人来说，如果他后面一个位置的序号已经知道（确定），那么他本身的序号也就定了。

; 公理四是说：假如原来队列的第一个另排一行，第一个的“下一个”，“下一个”的“下一个”全部依次跟过来，那么新队列和老队列是等价的。

　　这样定义的自然数称序数，以区别前者定义的基数，是专门针对“第几”这个问题而定义的。基数起于感性量的简单同异比较，用于描述感性的、形象的数量，而序数是基数的进一步抽象，是思维进一步发展的产物，用于描述理性的、抽象的关系量。

; 各种已知的古代数系，基本上都经过从基数到序数的过程，首先用以表示“几个”，然后才抽象出表示“第几个”的涵义。但除了先天易之外，还没有出现经过定义的序数体系。

; 专门把表示顺序的序数与表示个数的基数从基本定义上区分开来是向抽象化发展的要求，也是抽象数概念产生的基础。邵子先天易就是专门定义的序数体系。为叙述方便，用Ｙ表示先天易体系。下面从皮亚诺四个公理出发逐一论证说明先天易符合序数定义，是从序数的角度来定义的。

; 有明确的顺序起点定义，先天易从乾(太极)开始演化，是序列的起点。

; 有明确的次序定义，正如朱熹所说的“其先后多寡，既有次第而位置分明，不费词说，”、“全是天理，自然挨排出来”、“无不曾”、“亦不容”、“智力添助”。又是“未知其所穷”的“有放无收”的系统，这就是说，系统Ｙ是依多寡自然挨排即按多寡一个紧挨着一个排出来的排列，元素与元素之间的先后次序是固定不变的，元素的个数又是无穷的，故每个元素ｙ必有固定的唯一的后继者ｙ＋。

; 根据Ｙ系统上的特征，每一个后继者ｙ＋，前面必有唯一固定的元素ｙ。这是显然的。

; 设Ｗ是Ｙ的一个子集，即Ｗ中的元素全部是Ｙ中的元素，

假定I：乾一(y0)是Ｗ中的元素；

; II：Ｗ中任意元ｗ，其后继者ｗ＋也是Ｗ中的元素。;

; 则Ｗ与Ｙ等价。

; 证明：从前提Ｗ是Ｙ的一个子集出发得知，Ｗ中每一个元素都是Ｙ中元素，不存在属于Ｗ而不属于Ｙ的元素。

; 从假定一得知Ｙ序列的第一个元素y0也是Ｗ中的元素，Ｙ中不可能有在y0前面的

元素，而Ｗ中的元素都是Ｙ中的元素，因此Ｗ中y0也是第一个。

; 根据假定二，Ｗ中任意元素的后继者都是Ｗ中的元素，从y0出发逐一加一的生成的元素都是Ｗ中的元素，同时这本来就是Ｙ的定义，所以Ｙ是Ｗ的子集。又前提中Ｗ是Ｙ的子集，所以Ｗ与Ｙ等价。

; 由于进位制是自然数自身表达的模式，先天易系统Ｙ是自然数序数系统，在内部结构上，任意大数均表示为奇偶两个符号的迭加，并利用非零符号所在相对位置的不同表示位值的不同。所以先天易系统Ｙ是二进位制自然数体系。为了脱离数量与单位等具体特征的约束，先天易从单纯序数的角度来构建自然数序列，开抽象数学之先声，它的意义必将逐步得到人们的重视。

第六节 《周易》与二进位制问题散记

; 近数十年来，国内否定周易与二进位制有关的运动有两个学术源头，一个是李约瑟《中国科学技术史》中综述，另一个是80年代英国E.J.爱顿的一篇短文。之所以称之为运动，那是因为大家似乎都不约而同地隐含着对研读原著的不热心甚至鄙视。下面是有关这个问题的三段笔记，以此献诸同好。

; 一、葛兰言的碰巧说

; 从近现代西方学术界的角度看，自从认识二进位制数之伊始，就与《周易》结伴而行。西方第一篇关于二进位制的文章发表于1703年，是莱布尼兹在《皇家科学院纪录》上发表的，标题为《二进制算术的解说》，副标题为“它只用0和1，并论述其用途以及伏羲氏所使用的古代中国数字的意义”，作为对的介绍加以高度评价。以后周易与二进制问题作为东方的一个特色一直引起西方学者的广泛注意，他们对从浩瀚的易图进行研读，得到了很多有益的成果。一直到本世纪二三十年代，几乎没有人对中国古代二进位制的发明权表示怀疑或商榷。