有关抽象函数的全面探析

摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。
关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性
        抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
　　解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
　　一、抽象函数的定义域
　　例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定义域。
　　解析：由由a＞0
        知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。
        点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
　　二、抽象函数的值域 （科教作文网http://zw.nseAc.com）
　　解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。
　　例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。
　　解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。
　　三、抽象函数的奇偶性
　　四、抽象函数的对称性
        例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（   ）
　　A、 2    B、 0     C、  1     D、不能确定
　　解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，∵ y=f(2x+1) 是奇函数，∴y=也是奇函数，∴。∴ ， ，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)=故选A 。
        五、抽象函数的周期性
　　例4、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(    )         
　　(A) 是偶函数         (B) 是奇函数  
　　(C)           (D) 是奇函数
        解: ∵与都是奇函数，，
        函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
        定理1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以T=a＋b为周期的周期函数。
        定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)= －f (x－b)，则y=f (x) 是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。

（转载自http://www.ＮＳＥＡＣ.com中国科教评价网）

       定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b－a)为周期的周期函数。
        定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b－a)为周期的周期函数。
        性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；
        性质2：若函数f(x)满足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).
        特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.
        性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(a－b).
        特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。
        从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。

参考文献：
[1]陈诚.抽象函数问题分类解析[J].数理化学习·，2008(8).