“辅助线”在物理解题中的应用
2013-06-16 01:04
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“辅助线”在物理解题中的应用
法拉第为了形象地描述电磁场
“辅助线”在物理解题中的应用
法拉第为了形象地描述电磁场，引入了辅助线 电场线和磁感线。同样当求解物理问题感到困惑时，有时通过添加辅助线（可以是直线或曲线），立刻就会“豁然开朗”，从而茅塞顿开，使问题迎刃而解。下面就辅助线在图象、作图、物理情景的转化、构建回路、几何关系的挖掘等方面的应用举例如下。
1、辅助线在图象中的应用
例1 图1-1为一物体作直线运动的v－t图，初速为v0，末速为vt，则物体在t1时间内的平均速度
A、=(v0+vt)/2 B、>(v0+vt)/2
C、<(v0+vt)/2 D、无法确定
解析 由图1-2可知，物体作变加速直
线运动。而选项中(v0+vt)/2是初速为v0、末
速为vt的匀变速直线运动的平均速度。为找
出此匀变速直线运动与变加速直线运动平均速度的关系，在图1-2中连接点（0,v0）和点（t0, vt）作一表示初速为v0、末速为vt的匀变速直线运动的辅助线，如图1-2所示。由图1-2中的曲线和直线与坐标轴所围面积可得，t0时间内变加速运动的位移大于匀变速运动的位移，即t0时间内变加速直线运动的平均速度大于匀变速直线运动的平均速度。正确答案为（B）。
点评：本题利用辅助线比较相同时间内匀变速直线运动和变加速直线运动位移的大小关系，从而得到平均速度的大小关系。在求解与物理图象相关的问题时，常通过在图象中作一些表示物理过程的辅助线，使问题迎刃而解。
2、辅助线在作图中的应用
例2 如图2-1所示，A、B、C三点是匀强电场中的三个点，三点的电势分别为。试画出该匀强电场电场线的分布示意图。
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解析 因为是匀强电场，且，
故可先确定过B点的等势面。连结AC，取AC的中
点D ，再连结BD ，则BD即为过B点的等势面。
根据匀强电场电场线与等势面垂直，电场线的方向指向电
势降低的方向，可画出其电场线的分布示意图如图2-2所示。
点评：本题利用辅助线找到等势点、作等势面，从而作出匀强电场电场线的分布示意图。在物理作图题中，常借助辅助线来说明其演变过程，让人理解作图的思路、原理。
3、辅助线在情景转化中的应用
例3 一个光滑杯子的直径是d，高为h，如图3-1所示，
今有一小球在杯口沿直径方向向杯内抛出，到达杯底时的位置
与抛出时的位置在同一直线上，小球与杯碰撞n次且无能量损失，
求小球抛出时的速度。
解析 因小球与杯碰撞n次无能量损失，由运动的对称性
将n段运动轨迹凑成抛物线，将复杂的运动情景转化为图3-2
的平抛运动。由平抛规律有 nd=v0t ① h=② 解①②得v0=
点评：本题利用辅助线将n段运动轨迹凑成平抛的抛物线，通过添加辅助线将复杂的物理情景转化为熟悉的情景，从而令人茅塞顿开。
4、辅助线在构建回路中的应用
例4 如图4-1所示，半径为r的圆形区域内充满磁场，磁感强度以=k的变化率均匀变化，其方向垂直圆形平面向里。一长度为r、固定不动的直导线ab垂直磁场方向置于磁场中，且直导线两端a、b恰在圆周上，求导线ab中感应电动势的大小？
解析 根据对称性，在圆形区域内添加五条与ab
相同的直导线作为辅助线，构成一个内接正六边形导
线回路，如图4-2所示。由法拉第电磁感应定律可得
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回路中感应电动势①，而正六边
形面积S=②，由对称性得直导线ab中感应电
动势③ 解①②③得
点评：本题乍一看似乎超纲，感到无从下手。解题的关键是利用辅助线构建一闭合回路，从而利用法拉第电磁感应定律求出导线的感应电动势，使问题变得简洁明了。
5、辅助线在几何关系中的应用
例5 如图5-1所示，倾角为30°的直角三角形底边长2L，且处于水平位置，斜面为光滑绝缘导轨。现在底边中点O处固定一正点电荷Q，让一质量为m的带正电的点电荷q从斜面顶端A处释放沿斜面滑下（不脱离斜面）。现测得它滑到B点在斜边上的垂足D点处的速度为v，加速度为a，方向沿斜面向下。求该点电荷滑到斜面底端C点时的速度vc和加速度ac各为多大？
解析 由于点电荷q下滑过程
中所受固定电荷Q对它的电场力大
小、方向时刻改变，直接运用物理
规律解题感到很困难。但认真分析
图5-1中的几何关系发现，若连接DO
作一条辅助线，如图5-2所示，则由几何关系可知：DO＝CO=BO。这一几何关系的发现使问题的求解有两点突破：a、DO＝CO=BO表明D、C、B三点位于固定电荷Q的同一等势面上，q经D点到C点的过程中电场力不作功。b、DO＝CO还表明点电荷q经D点时和到达C点时所受电场力大小相等。
（1）q从D运动到C的过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得 ①由几何关系有CD=②解①②得
（2）在D点和C点分别对电荷q受力分析如图5-2，由牛顿第二定律得：
mgsin30°- Foos3o°=ma③ mgsin30°＋ Fcos30°= mac④ 解③④得：ac＝g-a。
点评：本题利用辅助线找出了D、C两点在同一等势面上的关系，使问题变得简单。在较复杂的综合题中，利用辅助线认真挖掘题中几何关系是解题的关键。
