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分，而解之网

2013-06-21 01:18

分，而解之
1. 分解矢量
中学物理中涉及的矢量有力、速度、加速度、电场强度、磁感应强度等。同学们只习惯于对力进行分解，但在某些问题中，通过分解除力之外的其它矢量来求解，会收到事半功倍的效果。
例1. 一带正电的小球质量为，带电量为，小球在相互垂直的匀强电场和匀强磁场的空间中沿一斜线向下做匀速直线运动，如图1所示。已知其水平分速度为，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，电场力做负功的功率大小为。求电场强度E的大小和方向。（g取，方向可用反三角函数表示）

图1
分析：将速度矢量v分解，设水平速度为，竖直速度为，则带电小球受洛伦兹力的水平分力为（方向向右），竖直分力为（方向竖直向上）。
将电场强度E分解，设水平分量为，竖直分量为，则带电小球受电场力的水平分力为，竖直分力为，如图2所示。

图2
由于小球做匀速直线运动，根据力的平衡条件，得：

又因洛伦兹力对小球不做功，则电场力的功率和重力的功率大小相等，有

联立<1><2><3>式，得：
故电场强度的大小
设场强E与竖直方向的夹角为θ，则
所以
2. 分解运动
如果所研究的运动较为复杂，可以把它分解为两个较为简单的运动。如平抛运动、“小船渡河”问题等。
例2. 在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上。已知小石块的质量为，气球（含球内氢气）的质量为，气球体积为V，空气密度为（V和均视为不变量），风沿水平方向吹，风速为v，已知风对气球的作用力为（式中k为一已知常数，u为气球相对空气的速度）。开始时，小石块静止在地面上，如图3所示。

（1）若风速v在逐渐增大，小孩担心气球会连小石块一起被吹离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由。
（2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速v保持不变，求气球所能达到的最大速度的大小。

图3
分析：（1）对由气球、绳、小石块组成的整体进行受力分析，如图4所示。开始时小石块能牵住气球静止在水平地面上，说明竖直方向上的受力平衡。如果风速v增大，则水平方向上的受力将不再平衡，但竖直方向上的受力不变。所以气球连同小石块会向左运动，但小石块不会被吹离地面。

图4
（2）经分析知，气球达到最大速度时做匀速直线运动，其运动方向斜向左上方。将气球的运动分解为水平方向和竖直方向的两个匀速直线运动。根据力的平衡条件，得：
水平方向：，即
此时气球水平分速度
竖直方向：
解得：
故气球最大速度的大小为：

3. 分解定理、定律
有些定理、定律的表达式是矢量式，必要时，也可将矢量式分解。如牛顿第二定律表达式，将其正交分解得。式中分别表示沿x、y轴方向的合外力，分别表示沿x、y轴方向的加速度。这样可分别在两个方向上列方程求解。
例3. 在许多风景秀丽但山势陡峭的名山，如泰山、黄山等，为了方便游客，都修建了登山索道，如图5所示。已知泰山索道某段与水平面的夹角为37°，当载人车厢沿钢索匀加速向上运动时，车厢中的人对车厢底的压力为其体重的1.25倍，那么车厢对人的摩擦力为其体重的多少倍？

图5
分析：对人进行受力分析如图6所示，分解加速度a如图7所示。

根据牛顿第二定律的分量表达式，得：
水平方向：
竖直方向：
又
联立<1><2><3>式，得：

例4. 如图8所示，真空中有一带电微粒，质量为m，带电量为q，以初速度从A点竖直向上射入水平方向的匀强电场中，微粒在电场中发生偏转到达B点时，速度方向变为水平向右，大小为。求该电场的电场强度E的大小。

图8
分析：带电微粒在电场力和重力的共同作用下做类平抛运动，设从A到B经历的时间为t。由动量定理的分量表达式，得：
水平方向：
竖直方向：
联立<1><2>式，得：