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牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析(2)

2013-08-22 01:10 三、牛顿、莱布尼兹创立微积分之比较
牛顿和莱布尼兹用各自不同的方法,创立了微积分学。如果说牛顿接近最后的结论要比莱布尼兹早一些,那么莱布尼兹发表自己的结论要早于牛顿。虽然牛顿的微积分应用远远超过莱布尼兹的工作,刺激并决定了几乎整个十八世纪分析的方向,但是莱布尼兹成功地建立起更加方便的符号体系和方法。两位微积分的奠基人,一位具有英国式的处事谨慎,治学严谨的风度,一位具有德国人的哲理思辨心态,热情大胆。由于阴阳差错的时代背景, 过分追求严谨的牛顿迟迟未将自己的发现发表,让莱布尼茨抢了一个发表的头筹。
牛顿和莱布尼兹的观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同。牛顿坚持唯物论的经验论,特别重视实验和归纳推理。他在研究经典力学和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,而这些数学问题用欧几里德几何学和16 世纪的代数学是无法解决的,因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法。“牛顿的研究采用了最初比和最后比的方法。他认为流数是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬间的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬间的比值。”[4 ] (p. 180) 这个解释太模糊了,算不上精确的数学概念,只不过是一种直观的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中的每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。这样他就给出了极限的观点。
莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”,他从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值;求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和。莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的。莱布尼兹用无穷小的思想给出了微积分的基本定理,并成为高阶微分。莱布尼兹的无穷小是分阶的,这源于他哲学中的单子论思想。“莱布尼兹在单子论中指出:不同的单子其知觉 （科教作文网http://zw.ΝsΕac.cOM编辑）
的清晰程度是不一样的,并从一种知觉向另一种知觉过渡和变化,发展就是由单子构成的事物,由低级向高级的不同等级的序列。”[6 ] (p. 91) 可以说,莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的。莱布尼兹在微积分的研究过程中,连续性原则成为其工作的基石,而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想。
牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点有:从不同的角度创立了一门新的数学学科,使微积分具有广泛的用途并能应用于一般函数;用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来;都研究了微分与反微分之间的互逆关系。
牛顿和莱布尼兹创立微积分的不同点主要有:牛顿继承了培根的经验论,对归纳特别青睐。牛顿的微积分明显带着从力学脱胎而来的物理模型的痕迹,以机械运动的数学模型出现,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都来自机械运动,是机械运动瞬间状态的数学抽象。他建立微积分的目的是为了解决特殊问题,强调的是能推广的具体结果。而莱布尼兹强调能够应用于特殊问题的一般方法和算法,以便统一处理各种问题。莱布尼兹在符号的选择上花费了大量的时间,发明了一套富有提示性的符号系统。他把sum(和) 的第一个字母S 拉长表示积分,用dx 表示x 的微分,这套简明易懂又便于使用的符号一直沿用至今。
牛顿认为微积分是纯几何的延伸,关心的是微积分在物中的应用。经验、具体和谨慎是他的工作特点,这种拘束的做法,使他没有能尽情发挥。而莱布尼兹关心的是广泛意义下的微积分,力求创造建立微积分的完善体系。他富于想象,喜欢推广,大胆而且有思辩性,所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。
牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人。 微积分之所以能成为独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响,主要是靠了牛顿与莱布尼兹的工作。从牛顿和莱布尼兹创立微积分的过程中可以看出:当巨人的哲学的沉思变成科学的结论时,对科学发展的影响是深远的。
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[1 ]恩格斯. 自然辩证法[M] . 北京:人民出版社,1971.
[2 ]李文林. 数学史概论[M] . 北京:高等出版社,2003.
[3 ]杜瑞芝. 数学史辞典[M] . 山东:山东教育出版社,2000.
[4 ]吴文俊. 世界著名科学家传记[M] . 北京:科学出版社,1994.
[5 ]C H 爱德华. 微积分发展史[M] . 北京:北京出版社,1989.
[6 ]M 克莱因. 古今数学思想[M] . 上海:上海科学技术出版社,1979.
[7 ]费尔巴哈. 对莱布尼兹哲学的叙述、分析和批判[M] . 北京:商务印书馆,1985.