浅谈物理习题中的极值问题

　　关键词:　习题　极值

　　论文摘要:本文根据学生的实际情况以及本人的教学实践,针对普通物理教学中困扰学生的极值问题,利用、物理的概念、公式等,尝试对物理极值问题的求解规律进行归纳与探析。

　　在普通物理习题中有一些是关于求极值问题。有的是求极小值,有的是求极大值,学生对此并没有足够的预备知识,遇到这类题目往往感到无从下手,不知如何解,故而在解题过程中错误层出不穷,本文试从几个方面对物理习题中的极值问题加以说明。

　　一、从物理概念、公式出发求极值

　　例1:一车技演员骑摩托车驶进一半径为R,路面倾角为 的圆锥形峭壁上做圆周运动,车轮与路面间静摩擦系数为μ。求飞车在此圆轨道上不致滑动的速率V的取值范围。

　　解:物体受力:支持力N;重力G;最大静摩擦力fm;建立坐标,假定fm沿斜面向上,如图(a)所示:

　　y轴方向没有运动    (1)

　　x轴方向做匀速圆周运动　

　　式(2)中的向心力为最小,因而V最小应表示为Vmin

　　最大静摩擦力

　　假定最大静摩擦力fm沿斜面向下,如图(b)所示:

　　y轴方向　

　　x轴方向　合外力充当向心力　式(4)中的向心力为最大,因而V最大应表示为Vmax

　　从(3)(4)两式可解得:

　　最后,飞车在此圆轨道上不致滑动的速率V的取值范围为:Vmin≤V≤Vmax

　　此题利用向心力公式

　　fm沿斜面向上　向心力F最小因而V最小;

　　fm沿斜面向下　向心力F最大因而V最大;

　　故而求得V的取值范围。

　　例2:如图(c)所示,滑道AC的后部是一个半径为R的圆环,质量为m的滑块在高度为h的位置从静止出发,沿AC滑下,求滑块通过圆环顶部时不致脱落的h的最小值。

　　解:把滑块和地球看作一个系统,没有外力作功,内力中的重力为保守力,摩擦力被忽略,滑道和圆环对滑块的作用力均与运动方向垂直,它们不作功,能守恒条件得到满足,以地球作参考系,取滑块通过的最低位置作为重力势能的零点,设h为使滑块在圆环顶端不脱落的最小高度,比较滑块在圆环顶部和出发点的机械能有:

　　V0为滑块在圆环顶部的速度,滑块在圆环顶部所受的向心力为mg+N

　　RN为圆环顶部对滑块的压力,在一般情况下N≥0

　　对于滑块刚好能通过顶点的情况,取N =0,由式(2)得到mv02= mgR代入式(1),可得

　　二、利用数学求导一阶导数为零求极值

　　例3:风对帆所施的力为其中a是系数,s为帆的面积,V0为风速,V为船的航速,试求风的功率最大时船的航速?

　　解:风力对帆作功的功率: 功率对航速V的极值条件是:

风与帆没有相对速度,风力F=0,显然, 功率为极小值。由于

　　此题利用了数学求导求极值问题,一阶导数为零,有极值;二阶导数大于零,有极小值;二阶导数小于零,有极大值。

　　三、利用矢量三角形解物理极值

　　例4:如图(d)所示,质量为m的小球用细线悬挂在O点,并置于倾角为a的光滑斜面上,细线与竖直方向的夹角为 >a,试分析:在斜面缓慢右移, 逐渐减至0°的过程中,小球受到线的拉力和斜面支持力如何变化?它们的极值各是多少?

　　分析与解:在 逐渐减少的过程中,小球在三个共点力的作用下始终处于平衡状态,重力mg为竖直向下的恒力,支持力N大小变化而方向始终垂直斜面,而拉力T的大小和方向都在变化。从三力构成的矢量三角形如图(e)可以看出:拉力T先减小后增大,当T与N垂直,即 +α=90°。T与斜面平行时,拉力最小为Tmin= mgsinα。而支持力N不断减小,当 =0°时,N减为零,即Nmin=0

　　四、利用三角函数解物理极值

　　例5:质量为m的物体放在地面上,它们间的滑动摩擦系数为μ,用力F拉物体,使物体在水平面上作匀速直线运动,力与水平方向的夹角α为多大时最省力。

　　分析:由于物体在水平面上做匀速直线运动,随着α角的不同,物体与水平面间的弹力不同,因而滑动摩擦力也不一样,而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等,因而α角不同,拉力F也不一样。

　　解:以物体为研究对象,受力分析如右图(f)所示。因为物体处于平衡状态,根据