数学实验的理论研究与实践(1)(2)

［课题背景］数列是一种离散函数，可以看作是以正整数集（或正整数集的有限子集）为定义域的函数当自变量由小到大依次取值时所对应的一系列函数值，而数列的通项公式就是相应函数的解析式。利用函数思想解决数列问题是一种常规而重要的方法。在“数列”单元教学中，可以利用几何画板设计数学实验，让学生自己动手、动脑，自主探索数列和函数的关系，体验利用函数思想解决数列问题的优势。

［实验目标］数学实验目标包括知识目标、能力目标、情感目标。

（1）知识目标：通过对函数y=f(x)的图象和由数列an＝f(n)生成的点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），A₄（4，a₄），…之间的关系理解函数与数列之间的关系，探索并获得利用函数知识解决有关数列问题的思想和方法。

（2）能力目标：培养学生动手动脑的实践能力，观察、分析、抽象、概括等数学思维能力，培养学生利用计算机技术理解数学和解决数学问题的能力。

（3）情感目标：使学生体验成功的乐趣。

［实验准备］包括实验工具和材料(如应用软件、学生用图形计算器)，根据学生的基本情况合理分组，等等。

（1）给每台计算机加装几何画板。

（2）让学生复习几何画板的有关用法，如由坐标构造点，绘制函数图象等。

（3）四人一组，每组一台计算机。

［实验过程］在教师的指导下，学生在规定的时间内按照事先安排的组织形式对实验材料进行操作和实验。对实验现象或数据要认真观察或记录，努力发现与所研究的问题有关的现象或数据中反映出来的规律。本实验通过三个问题的实验探究达到实验课题目的。

问题1：任给一数列的通项公式，例如a_n＝f(n)=n²－2，探求数列的各项与函数y＝x²－2的关系。

教师导引：（1）在坐标系中构造出点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），A₄（4，a₄），…。

（2）做出函数y＝x²－2的图象，观察上述各点和函数图象的关系。

（3）让学生随意更改数列的通项a_n＝f(n)，探求点（1，a₁），（2，a₂），（3，a₃），（4，a₄），…和对应的函数y＝f(x)的图象的关系。

小组讨论：数列a_n＝f(n)和函数y＝f(x)之间的关系应该怎样描述。

问题2：已知数列的通项公式为an=，试探求这个数列从第几项起的数值为正数，前多少项的和最小，即讨论S_n何时有最小值。

教师导引：（1）如果直接计算a₁，a₂，a3，a₄，…，等待你的将是复杂的运算。

（2）作出对应函数f(x)=的图象，从图象上观察问题的结论。

问题3：一个等差数列｛a_n｝，其通项为a_n＝a₁＋（n－1）d＝dn＋a₁－d，考察其单调性，并探求Sn是否有最值；如果S_n有最值，n取何值时S_n能够取到最值？

教师导引：由数列通项公式可知其对应函数的解析式为y＝f（x）＝dx＋a₁－d（含有两个参数d，a₁），是一次函数，其图象为一条直线。等差数列的前n项和公式为S_n=，对应的函数y＝是二次函数，其图象是抛物线。在同一坐标系中做出两函数f(x)，g(x)的图象，从图象上探求所讨论的问题。教师可以让学生自由探索，也可在课前用“几何画板”设计好教学课件（如图样式）。如果是后者，实验中只需让学生拖动点A1和D到不同的位置而改变数列的首项和公差，记录a1和d的值，观察图像的变化，将观察结果填入下表，从中发现数列a_n的各项和S_n各项的变化规律？

［实验结果］基于实验过程中出现的实验现象的观察或数据记录及对数据分析处理结果，初步作出猜想，并思考个中原因。各小组讨论交流，通过交流最终得到大家认可的结论。教师可以给予适当的分析指导。（略）

［结果论证］为保证数学的严谨性，尽可能地对实验结论加以理论证明，写出完整的实验报告。 （略）

在上面的案例中，由教师提出问题，学生自己动手实验操作，探讨发现各种可能的情况。在这一过程中把有关函数的概念作为知识的生长点，使学生从原有的知识中自然“生长”出新的知识──数列和函数的关系，这一知识的生长过程是一种主动的探索过程，不仅使新知识找到了牢固的附着点，而且使学生的数学认知结构在这一探索过程中得到发展。

五、撰写实验报告

跟一般科学实验一样，学生数学实验也应有实验报告撰写环节。实验报告是实验进程中的最后一步，是实验成果的书面总结和反思。通过撰写实验报告，可以培养学生对现象的分析能力和实验数据的处理能力。因此，学生实验一般都应写实验报告。报告中书写的句子和段落应完整，力求行文既清楚又具可读性。报告可采用如下形式：

在数学课程设计与教学中，我们应把握数学教育的时代性，确立数学实验的课程观和教学观，注重运用实验、直觉、形象思维等形式揭示数学知识的形成过程，为学生提供丰富的数学实验资源，创设数学实验情境，使学生在这种情境中进行认知学习、发现学习，建构数学知识，使学生从数学实验中体验发现问题、探索问题和解决问题的乐趣，加深对数学本质的认识，激发学习数学的热情，发展创新能力。

参考文献：

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［6］曹一鸣.数学实验教学模式探究［J］.课程·教材·教法，2003，（1）.

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