河道平面二维水沙数学模型的有限元方法(1)程

摘要：采用有限元方法建立起一套河道平面二维水流泥 沙数学模型。在前人研究的基础上，采用了质量集中的处理方法，提出了压缩存储的方法， 从而大大减少了计算存储量。针对有限元法时间步长需取得较短问题，采用了“预报-校正-迭代”的算法，提出了“非恒定-恒定-非恒定流”的算法，既能解决工程实际问题，又大大减少了计算量。作者以下荆江监利河段为例进行泥沙冲淤计算，计算结果与实测值符合较好，从而证明了模型的可靠性。

关键词：水流泥沙 有限元 模型验证

三峡工程建成后，水库将拦蓄大量泥沙，下泄水流含沙量减小，对三峡工程坝下游河道将产生以冲刷为主的影响，包括对荆江河段的河势及荆江大堤带来影响。为研究坝下游重点河段的河床冲淤分布、河势变化、近岸流速变化等问题，一维模型显得无能为力，但可采用平面二维模型来解决。有限元方法可采用无结构化网格，能很好地模拟不规则的几何形状，因此很适合于对天然河道的模拟。

然而，正如其它方法一样，有限元法也有它的缺点，主要是计算存储量和运算量较大。为扬长避短，使有限元方法能运用到对天然河道的模拟上来，本模型运用质量集中^［4］的方法将系数矩阵转化为三对角矩阵，并提出了紧凑的分块压缩存储方法，从而大大减少了计算存储量，使得计算能在一般微机上进行。采用质量集中方法的不足之处是时间步长需取得较短，且在河道模拟中尤为突出(因河道比较窄长，网格需划分很细，而该法的稳定性要 求时间步长与网格尺度成正比)。针对该问题，笔者采用了“预报-校正-迭代^［5］”的算法，该法可加大时间步长，同时有效避免了数值震荡。针对长系列水沙条件下计算量较大问题，作者又提出了“非恒定-恒定-非恒定流”的算法，该算法既能解决工程实际问 题，又大大减少了计算量，使有限元方法能够很好地运用于河道水流泥沙问题的实际计算。

1 基本方程

　　平面二维水流方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)И

悬移质泥沙扩散方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

推移质不平衡输移方程^［6］

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)

河床变形方程

由悬移质引起的河床变形方程为

_{<![endif]>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)}

　　由推移质引起的河床变形方程为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)

以上各式中u，v分别为垂线平均流速在x,y方向上的分量；zs、z_b和h分别为水位、河底高程和水深；g为重力加速度；v_t为水流紊动粘性系数；ρ为水的密度；τ_x、τ_y、舄瓂分别为底部切应力在x和y方(τ_x、τ_y)=，向上的分量：c为谢才系数，常用曼宁公式计算：c=h^1/6/n；s和s_*分别为垂线平均含沙量和挟沙力；n和n_*分别为推移质输沙量和推移质输沙能力折算成全水深的泥沙浓度；ε_s为泥沙紊动扩散系数；ω为泥沙沉速；γ′为床沙干容重；α为悬移质泥沙恢复饱和系数，淤积时取0.25，冲刷时取1.0；β为推移质泥沙恢复饱和系数，取0.25。 

悬移质泥沙共分成8组，水流挟沙力和分组挟沙力级配采用李义天方法^［7］进行计算。

2　有限元方程

将整个计算域剖分成一个三角形网格系统。每个三角形为一个单元，其编号为e,e=1,2,3， …，ne,ne为单元总数。单元三个顶点为节点，其局部编号为j=1,2,3(以逆时针为序)。节点的整体编号为i,i=1,2,3,…，np，np为节点总数。节点的整体编号与局部编号计算前一定要规定好。

引入插值函数：f=f_i(t)φi(x,y),φ为形函数。对方程(1)～(5)中的变量用插值函数近似表示，并使用伽辽金法^［1］对方程进行整理变形，可得到积分方程

　　　　　　　　　　　　　　　　(8)

　　　　(9)

　　　　　（10）

　　　　　　(11)

　　　　　　　　　　　　　　(12)

由此，经整理得到如下有限元方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)

　　　　　　　　　　　(14)

　　　　　　　　　　　　(15)

　　　　　　　　　　　(16)

　　　　　　　　　　　　　　　　(17)

　其中

i,j,k=1,2,3,…，np.

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