对函数概念学习的认知过程分析(2)
2013-04-24 18:44
导读：3．1．5学生情感 学习函数概念和学习其它知识一样，甚至需要学习者有更强烈的学习需要，由于函数概念涉及到许多子概念，如变量、常量、对应、唯一
3．1．5学生情感
学习函数概念和学习其它知识一样，甚至需要学习者有更强烈的学习需要，由于函数概念涉及到许多子概念，如“变量、常量、对应、唯一确定”等。另外函数概念的表述是一个相当繁杂和高度抽象概括的形式，，学习起来容易使人感到茫然，这就需要学习者有积极的学习态度和坚强的学习意志。由此可见，学生对函数知识持的情感会影响他学习函数概念的效果。
此外，学生的智力水平，语言表达能力、概括能力等对函数概念的学习都有不同程度的影响，本文不作一一探讨。
3.2函数学习的认知发展
数学本身是一门抽象性很强的学科,而函数概念又是这门学科中诸多概念中抽象性比较强的一个概念.正因为如此,大量的教育教学与调查表明函数概念是学生数学学习中最困难的概念之一.笔者在上一节中已经详细分析了影响学生函数学习的诸多因素.通过第二章第一部分函数教学案例及简要分析得知：就中国的函数教学而言,一般用两种方式引入函数概念教学,在初中用变量定义的方式,在高中用映射、对应的定义方式。最新版的教材直接用对应的方式定义函数。这种安排在一定的程度上遵循了函数概念的历史发展本来的顺序，也符合人们对于函数认知过程上的发展性、阶段性。为了比较分析，笔者利用上一章提到的问卷２对高二、高三学生共计２００人作了抽样调查；利用问卷３对非数学专业的大四学生和数学专业的大四学生和部分数学教师共计２００人做了调查，通过调查发现学生形成函数概念以及理解函数的认知水平普遍偏低，对函数概念的掌握与预期的教学目标大相径庭。
３．２．１函数定义及其表象
函数定义方式很多，在第一章第一节中列举了一部分，因而学生对于函数概念的学习，常会遇到多个表象。如图像、列表格形式、解析式、箭头实例等。对于同一函数概念的多个表象在同一水平上被使用，这些表象使学生清楚潜在概念，因而影响概念的抽象过程，在问卷２和问卷３的调查中发现，学生只记得函数的某些表象，而对函数定义的本质没能很好地掌握。但同时我们也清楚地认识到在概念学习中表象比定义本身起着更重要的作用。
（科教作文网http://zw.ΝsΕEc.Cn编辑整理） 通过调查发现，学生头脑中函数概念的发展大致经历作为“算式”的函数，作为“变化过程”的函数，作为“对应关系”的函数。低年级的学生头脑中“算式”的函数表征占多数。这一类学生还没有真正利用函数的概念定义来解决与函数有关的问题，仅仅将知识停留在所学过的方程、不等式的代数式上。比如在问卷１的第４题，要求学生判断是否为一种函数关系。有部分学生认为它既不是一次函数，也不是二次函数，有另一部分人认为没有学过。对于这个过程，很多学生只停留在表象的认知上——函数的解析式，不会利用数学形结合的思想解题。又如问卷２中第２题，求二次函数的最大值和最小值。学生中有一部分是这样解题的，当 时， ；当 时， 故 ，和 ，这个问题可以看出他们仅仅将函数看成是多项式且区间知识不牢，表示混乱，这种情况同样是他们没有吃透“数形结合”的函数思想，以致这种混乱思想会困扰学生做其它与函数有关的问题，如求函数的值域问题。学生在初学阶段解题往往把函数图像与函数的解析式孤立对待，难以把图像的特点与解析式所反映出来的性质结合起来。随着学生阅历的增加，学生的认知水平不断上升。持“变化过程”的函数这一表象的这一类学生，对问卷２和问卷３的第１道题的回答中，有：函数是有定义域、值域和解析式的整体；函数反映的是因变量随着自变量变化而变化的式子。此类学生比前类学生自身的认识能力即抽象能力明显高，但还是不能对函数概念做出正确的解析，忽略了函数定义中的关键之处，任意一个自变量 对应唯一一个因变量 。随着知识的加深以及练习难度的加深。学生掌握函数也在深入。例如调查问卷２中第２题中的第二类解法的学生，将函数 配方后得 且 ，故当 时， 取最小值 ，当 时， 取最大值 。以及第三类解法的学生画出函数图像，利用图形求出最值 和 的解法都正确，但是比较起来两类学生有较大的区别。后一类学生能活用函数图像的功能，前一类学生并没有真正将数与形结合起来。已形成了作为“对应关系”的函数的学生对新知识的领悟能力较强，能正确地描述函数的定义。由此学生对函数概念的认知发展并不是每一个学生都能完成的。个人对概念的理解与其所具有的理解力有密切联系。人的能力因人而异并不完全相同，对函数概念的理解也不尽相同。
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３．２．２学生对函数认知发展的阶段性。
初中、高中、大学课程里对函数的不同定义，以及学习者自身数学背景的变化使得不同年龄段的学生对函数的理解出现了较大的差异。如初三学生的调查中发现，学生在理解函数的过程中，首先把这一概念与自己已有的知识相联系。如二次函数的表达式的书写形式“ ”与一般的表达式的书写形式类似，学生容易把函数与代学式混淆，并在解题中相互替代从而导致错误。另外初次接触变量，对变量的理解不透彻。如问卷１的第２题，两个学校都有超过半数以上的学生重新解了“新方程”。大学生与高中生的比较中发现，大学生在学习了多值函数定义后，有些学生会与中学学习的函数概念产生混淆。有学者曾指出，当学生第一次面对某一个数学定义时，他们将几乎不可避免地只遇到一个极其有限的可能范围，这就会使他们的概念表象带上某些特定的痕迹，这会导致后来对概念的认知发展学习中产生冲突。在函数学习中，学生在初中接触的函数概念与在高中学习的函数概念以及大学遇到的多值函数概念是有明显的差异的。这就使得他们在进一步理解函数的过程中产生冲突。笔者给数学专业的老师和数学专业的大四学生和非数学专业的本科生做了相同的问卷３。在这里给出他们对相同题目回答的正确率的对比表。
正确率
题目
非数学专业学生
数学专业学生
数学专业老师
９２.８％ ６０％ ９７％
８０％ ８５％ ９４％
８０％ ８５％ ９４％
小明小华小黄的对应身高 ７０％ ７５％ ９５％
从表中可以看出有些问题数学专业的学生还不如非数学专业的学生。
３．２．３对内潜于现实中的函数关系的感知。
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几个年级的学生都对给出解析式的函数关系较为熟悉，而对于函数关系不很明显或以一个较为熟悉的生活现象出现时，学生对做出的答案显得明显不够自信。而让学生自己举出一些生活中接触到的函数时，学生觉得更困难了。举出来的例子大都是平时教科书或习题中出现得比较多的与生活有联系的问题。这说明学生对于内潜于现实生活中的函数现象不敏感。不善于将生活问题转化为数学问题。分析其中的原因，可能之处在于以往的学校函数教学中，虽然让学生明确了函数的形式化定义。但给学生提供的函数例子多为以解析形式给出，从已有的函数关系出发，去加以研究，学生较小经历或没有经历过在已有实验数据的基础上，自己总结出来的函数关系的过程。因此这样的函数教育都是在没有背景下学习函数，很少把函数知识一开始就镶嵌于生活现象中，这样的教育已不适应当今数学教育改革的潮流了。正如丁尔升教授所提出的：各年龄段的学生都必须经常探索学校数学中学到的比较原始的模式与紊乱的现实世界实际资料数学据间的关系，现实数据比编造的更可信。
