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摘要:以加权回归估计方法为核心,对林业上常用模型的异方差性进行了研究,提出了能彻底消除异方差的最佳权函数。并对模型的评价指标进行了探讨,提出了评价通用性回归模型的3大指标,并分析了加权回归估计与这些评价指标之间的关系。最后对样本资料的收集进行了讨论,提出了收集建模样本应遵循的基本原则。
关键词:加权回归 建模 异方差 模型评价
林业数表模型是森林经营决策必不可少的计量、预测、评价依据,保证模型质量至关重要,而组织、模型拟合方法和模型评价是保证质量的3个重要环节。实践证明,林业数表模型所描述的问题普遍存在异方差性,在模型拟合中若不采取消除异方差影响的有效方法,必然导致模型有偏。为此,一般可采取加权最小二乘法拟合模型,但在权函数的选择上尚存在两个有待进一步解决的问题:一是权函数的形式因模型所描述的事物的性质不同而异,确定最佳权函数十分繁琐;二是到目前为止,尚未找出能完全消除异方差的权函数。本文旨在提出一种可以完全消除异方差影响的权函数通式,并给出正确评价模型的指标体系及组织建模样本的基本原则。
1 加权回归的概念
确定变量之间的回归关系,一般情况下是利用普通最小二乘法。假设随机变量y~,其中,E(y)=f(x)。也就是说,随机变量y与x满足下列模型:
y=f(x)+ε (1)
式中的ε有3个基本假定,即“独立、正态、等方差”,它们是采用普通最小二乘法建立回归模型的先决条件。3个条件中的“独立”与“正态”在一般情况下都是基本满足的,而“等方差”这一条件,则在很多情况下都难以满足。为解决误差项ε的异方差性问题,应设法校正原有的模型,使校正后的模型其误差项具有常数方差,而模型的校正取决于方差σ2εi与自变量xi之间的关系。假设εi的方差与xi的函数g(xi)呈比例关系,即:
σ2εi=g(xi)σ2 (2)
这里σ2是一个有限常数。于是用去除原有模型,可使新模型的误差项具有常数方差。用这种方法估计模型中相应的参数,叫做加权最小二乘法(俞大刚,1987)。
2 权函数的选择 (科教范文网http://fw.NSEAC.com编辑发布)
2.1 异方差性的基本概念
根据回归估计理论,当建立的回归模型的误差项存在异方差时,必须采用加权最小二乘法来消除异方差对参数估计的影响。在林业上所涉及的许多数学模型,如材积模型、生物量模型、生长率模型、削度模型等,其误差项的方差都不为常数,而是随解释变量的变化而变化(骆期邦等,1992;曾伟生等,1992;曾伟生,1996)。一般而言,模型预估值随解释变量的增大而增大时,其误差项的方差也随解释变量的增大而增大,如材积模型和生物量模型;模型预估值随解释变量的增大而减小时,其误差项方差也随解释变量的增大而减小,如生长率模型。在残差图上反映出来,二者都为喇叭型。另外,预估变量的变化范围愈大,异方差性一般也愈明显。因此,采用适当形式缩小预估变量的变动幅度,可在一定程度上消除异方差性。如将材积转化为形数来建模,可将预估变量的取值大致控制在0.35~0.65的范围,使预估值的最大相差倍数从数千倍缩小至2倍以内,从而基本上消除了异方差性。将生长量转化为生长率再建模,也在很大程度上缩小了预估值的变动幅度,可明显削弱其异方差性。
2.2 权函数选择的研究现状
上面提到的一些常用模型,由于存在异方差,因此必须选用适当的权函数来进行加权回归估计。关于这一点,近几年已经逐步有了认识。如对材积模型V=aDbHc的估计,一般认为选用权函数W=1/(D4H2)可有效地消除异方差的影响(骆期邦等,1992);对生长率模型PV=aDbAc的估计,取权函数W=1/(D2A)效果较佳(曾伟生等,1992)。而且,还认识到了最合适的权函数是针对某一个模型而不是某一类模型(曾伟生,1992)。但是,针对一个具体的回归模型,如何确定其最合适权函数的问题仍然没有得到圆满解决。
(转载自http://zw.NSEAC.com科教作文网)
W=1/f(x)2 (3)
作为权函数,则模型两边同除以f(x)后得到的新模型,右边都等于1。可以证明,此时得到的新模型,其误差项的期望值为0,方差为常数。亦即,以模型本身构造的权函数就是要寻找的最佳权函数。这刚好应证了“不同模型有不同的最佳权函数”的观点。
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y=f(x)+ε (4)
两边同时除以f(x)得新模型:
y′=y/f(x)=1+ε/f(x)=1+ε′ (5)
对新模型(5)采用普通最小二乘法进行估计(相当于原有模型(4)的加权回归估计),有:
(6)
下面讨论新模型误差项ε′的性质。
期望值:
E(ε′)=E[ε/f(x)]=E[y/f(x)-1]
由(6)式知,E[y/f(x)]=1,故E(ε′)=0。
方差:
式中f(e′i)为频数(董德元等,1987)。可用建模样本对上述方差D(ε′) 作出如下无偏估计:
因此,新模型误差项的期望值为0,其方差为常数,即对所有xi来说,每个ε′i的方差都相同;满足等方差的条件。至此可以得出结论:以模型本身构造的权函数(3)式就是要寻找的最佳权函数。
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