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论加权回归与建模(1)网

2013-05-22 01:30

摘要：以加权回归估计方法为核心，对林业上常用模型的异方差性进行了研究，提出了能彻底消除异方差的最佳权函数。并对模型的评价指标进行了探讨，提出了评价通用性回归模型的3大指标，并分析了加权回归估计与这些评价指标之间的关系。最后对样本资料的收集进行了讨论，提出了收集建模样本应遵循的基本原则。

关键词：加权回归 建模 异方差 模型评价

 

林业数表模型是森林经营决策必不可少的计量、预测、评价依据，保证模型质量至关重要，而样本组织、模型拟合方法和模型评价是保证质量的3个重要环节。实践证明，林业数表模型所描述的问题普遍存在异方差性，在模型拟合中若不采取消除异方差影响的有效方法，必然导致模型有偏。为此，一般可采取加权最小二乘法拟合模型，但在权函数的选择上尚存在两个有待进一步解决的问题：一是权函数的形式因模型所描述的事物的性质不同而异，确定最佳权函数十分繁琐；二是到目前为止，尚未找出能完全消除异方差的权函数。本文旨在提出一种可以完全消除异方差影响的权函数通式，并给出正确评价模型的指标体系及组织建模样本的基本原则。

　1　加权回归的概念

　　确定变量之间的回归关系，一般情况下是利用普通最小二乘法。假设随机变量y～,其中，E(y)=f(x)。也就是说，随机变量y与x满足下列模型：

y=f(x)+ε　　　　(1)

式中的ε有3个基本假定，即“独立、正态、等方差”，它们是采用普通最小二乘法建立回归模型的先决条件。3个条件中的“独立”与“正态”在一般情况下都是基本满足的，而“等方差”这一条件，则在很多情况下都难以满足。为解决误差项ε的异方差性问题，应设法校正原有的模型，使校正后的模型其误差项具有常数方差，而模型的校正取决于方差σ²_εi与自变量x_i之间的关系。假设ε_i的方差与x_i的函数g(x_i)呈比例关系，即：

σ²_εi=g(x_i)σ²(2)

这里σ²是一个有限常数。于是用去除原有模型，可使新模型的误差项具有常数方差。用这种方法估计模型中相应的参数，叫做加权最小二乘法(俞大刚，1987)。

2　权函数的选择 （科教范文网http://fw.NSEAC.com编辑发布）
2.1　异方差性的基本概念
　　根据回归估计理论，当建立的回归模型的误差项存在异方差时，必须采用加权最小二乘法来消除异方差对参数估计的影响。在林业上所涉及的许多数学模型，如材积模型、生物量模型、生长率模型、削度模型等，其误差项的方差都不为常数，而是随解释变量的变化而变化(骆期邦等，1992；曾伟生等，1992；曾伟生，1996)。一般而言，模型预估值随解释变量的增大而增大时，其误差项的方差也随解释变量的增大而增大，如材积模型和生物量模型；模型预估值随解释变量的增大而减小时，其误差项方差也随解释变量的增大而减小，如生长率模型。在残差图上反映出来，二者都为喇叭型。另外，预估变量的变化范围愈大，异方差性一般也愈明显。因此，采用适当形式缩小预估变量的变动幅度，可在一定程度上消除异方差性。如将材积转化为形数来建模，可将预估变量的取值大致控制在0.35～0.65的范围，使预估值的最大相差倍数从数千倍缩小至2倍以内，从而基本上消除了异方差性。将生长量转化为生长率再建模，也在很大程度上缩小了预估值的变动幅度，可明显削弱其异方差性。
2.2　权函数选择的研究现状
　　上面提到的一些常用模型，由于存在异方差，因此必须选用适当的权函数来进行加权回归估计。关于这一点，近几年已经逐步有了认识。如对材积模型V=aD^bH^c的估计，一般认为选用权函数W=1/(D⁴H²)可有效地消除异方差的影响(骆期邦等，1992)；对生长率模型P_V=aD^bA^c的估计，取权函数W=1/(D²A)效果较佳(曾伟生等，1992)。而且，还认识到了最合适的权函数是针对某一个模型而不是某一类模型(曾伟生，1992)。但是，针对一个具体的回归模型，如何确定其最合适权函数的问题仍然没有得到圆满解决。

（转载自http://zw.NSEAC.com科教作文网）

　  一般情况下，如果不具有异方差性形式的信息，可通过对剩余值｜e_i｜=g(x_i)进行试验，以挑选出一种合适的拟合形式(俞大刚，1987)。另外，也有人提出直接寻找方差S²_ei与自变量x_i的关系式S²_ei=g(x_i)，再以W=1/g(x_i)为权函数进行加权回归，新模型的误差项方差S²_ei就会近似为常数1。还进一步提出了较具通用性的抛物线形式的权函数，并取得了较好的效果(曾伟生，1996)。但是这样来确定权函数，一方面比较繁琐；另一方面也难保证抛物线形式能适合所有模型，尤其是含多个自变量的模型；再就是必须有比较大的建模样本才可能得到误差项方差与变量x之间的回归关系。诚然，在此基础上还可以作些改进，如：借鉴曾伟生文(曾伟生等，1997)中可变参数模型的设计，将狭义的抛物线形式y=a+bx+cx²扩展为广义的抛物线形式y=a+bxⁿ+c(xⁿ)²(n=0.5,1,2…)以更好地适应各个模型不同程度的异方差性；从自变量集中选出最主要的变量(如材积模型中的直径)来构造权函数等。即使这样，效果仍然不太理想。
2.3　最佳权函数的确定
　　前面已经提到，最佳权函数是针对某个模型而不是某类模型，即同类模型中不同的回归方程式应有不同的最佳权函数。基于这一认识，我们再来对一些经典模型及其合适权函数作进一步分析。
　　不难发现，认为以W=1/(D²H)²为权函数效果较好的材积模型V=aD^bH^c,其参数b、c的估计值分别接近于2和1；以W=1/(D²A)为权函数的生长率模型P_V=aD^bA^c,其参数b、c的估计值分别接近于1和0.5。最近笔者还发现，形如W=a(D²H)^b的生物量模型，取W=1/(D²H)²为权函数效果也很佳，此时b的估计值接近于1。如果定义W=1/g(x)²为权函数，因为上述模型中的参数估计值与权函数中的相应参数值接近，故模型两边同时除以g(x)时，右边都近似等于参数a;若权函数中的相应参数取模型的参数估计值，则模型两边同除g(x)时右边就会恒等于参数a了。更进一步，若取：

W=1/f(x)²(3)

作为权函数，则模型两边同除以f(x)后得到的新模型，右边都等于1。可以证明，此时得到的新模型，其误差项的期望值为0，方差为常数。亦即，以模型本身构造的权函数就是要寻找的最佳权函数。这刚好应证了“不同模型有不同的最佳权函数”的观点。

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　　该模型为：

y=f(x)+ε　　　　(4)

两边同时除以f(x)得新模型：

y′=y/f(x)=1+ε/f(x)=1+ε′　　　　(5)

对新模型(5)采用普通最小二乘法进行估计(相当于原有模型(4)的加权回归估计)，有：

　　　　(6)

下面讨论新模型误差项ε′的性质。
　　期望值：

E(ε′)=E[ε/f(x)]=E[y/f(x)-1]

由(6)式知，E[y/f(x)]=1,故E(ε′)=0。
　　方差：

式中f(e^′_i)为频数(董德元等，1987)。可用建模样本对上述方差D(ε′) 　作出如下无偏估计：

　　因此，新模型误差项的期望值为0，其方差为常数，即对所有x_i来说，每个ε^′_i的方差都相同；满足等方差的条件。至此可以得出结论：以模型本身构造的权函数(3)式就是要寻找的最佳权函数。

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