曼宁公式中以平均水深代替水力半径的流量计算

摘要：利用比降及断面资料采用曼宁公式推求流量时，经常用断面平均水深代替水力半径，给计算的流量成果带来一定的误差。通过对不同形状断面的流量计算的误差分析，参照《水文资料整编规范》给出的水位流量关系水力因素法定线指标——系统误差不超过2%的规定，给出了不同断面形状可采用断面平均水深代替水力半径进行流量计算的最小宽深比。

关键词：宁公式 平均水深 水力半径 误差

1 问题的提出

曼宁公式在水位流量关系曲线的高水延长、洪水调查及古洪水研究中经常用到。规范规定，当宽深比大于100时，水力半径可以用断面平均水深代替。但是，在实际工作中，如：糙率计算、利用曼宁公式进行流量计算等，往往不注意宽深比的大小，直接用断面平均水深取代水力半径进行流量计算。因此，有必要对用断面平均水深代替水力半径给流量计算所带来的误差进行分析。

2   误差公式的推求

曼宁公式计算流量时，其一般表达式为：

q=ar^2/3s^1/2/n

式中：q——流量，m³/s；

  a——面积，m²；

      s——比降；

      n——糙率；

      r——水力半径，m。

若以x表示湿周，则水力半径r=a/x，以之代入上式则有

q= a（a/x）^2/3s^1/2/n

以断面平均水深h代替水力半径r时流量计算公式为：

q₁=ah^2/3s^1/2/n= a（a/b）^2/3s^1/2/n；

式中：b——水面宽。

两种方法计算流量成果的相对误差为

δ=（q₁-q）/q                                                （1）

把q₁、q的表达式代入（1）式中，整理得

δ=（x/b）^2/3-1                                             （2）

式（2）就是以平均水深h代替水力半径r利用曼宁公式计算流量的误差公式。可以看出，其误差是系统偏大的。

3   不同断面形状的误差分析

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3.1 矩形断面

矩形断面形状如图1所示。

矩形断面的湿周x₁=b+2h，式（2）可写为

δ=（（b+2h ）/b）^2/3-1                                           （3）

规范规定：断面的宽深比大于100称为宽浅河道。那么对于宽浅河道，以断面平均水深h代替水力半径r计算的流量误差

δ=（（b+2h ）/b）^2/3-1≤（（b+2b/100）/b）^2/3-1=1.33%。

当b/h→∝时，δ→0。也就是说，矩形断面宽浅河道以断面平均水深h代替水力半径r计算的流量误差范围在0―1.33%之间。宽深比b/h越大，则误差越小。对于矩形断面窄深河道，流量计算误差大于1.33%，且宽深比b/h越小，则误差越大。表1给出了矩形断面不同宽深比所对应的流量计算误差 。

表1                      矩形断面b/h~δ关系表

参照《水文资料整编规范》给出的水位流量关系水力因素法定线指标对系统误差的规定，系统误差不能超过2%。要使系统误差小于或等于2%，利用（3）式可得最小宽深比应大于66.3。

3.2三角形断面

三角形断面的流量误差，除与宽深比有关外，还受三角形形状的影响。

对于等腰三角形断面，过水面积a=bh_max/2，又因a=bh，所以h=h_max/2，即h_max =2h。断面形状如图2所示。

计算等腰三角形断面的湿周x₂=2 ，则误差公式为

δ=（（2）/b）^2/3-1                                 （4）

对于直角三角形断面(断面形状如图2所示)，x₃=，则误差公式为

δ= （（）/b）^2/3-1                                    （5）

对于宽浅河道，h≤b/100，代入（4）式，则δ≤0.05%；代入（5）式，则δ≤1.34%。表2给出了等腰、直角三角形断面不同宽深比所对应的流量计算误差 。

表2                   三角形断面b/h~δ关系表

要使系统误差不超过2%，根据（4）式可得，等腰三角形断面的宽深比b/h最小应不小于16.2。根据（5）式可得，直角三角形断面的宽深比b/h最小应不小于67.3。直角三角形断面的流量误差要比等腰三角形断面的流量误差大得多，根据三角形的几何性质可知，宽深比相同的三角形断面中，等腰三角形断面产生的流量误差最小，直角三角形断面产生的流量误差最大。

3.3 “u”形断面

“u”形断面的湿周x₄介于矩形断面湿周x₁和等腰三角形断面湿周x₂之间，所以按照规范系统误差不超过2%的要求，最小宽深比应在16.2和66.3之间。但“u”形断面更接近于矩形断面，为保证流量计算精度，“u”形断面的宽深比b/h宜大于66.3。

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