通信信号自适应滤波处理仿真研究(5)

                                 图(2.1.5.4)( =0.001)

                                 图(2.1.5.5)( =0.005)

　　观察两个不同步长情况下的误差曲线不难看出，步长越小，误差越小，但收敛速度越慢，为了好的精度，我们在选择时必然牺牲收敛速度。

　　以上就是围绕对LMS算法的分析，着重讨论了算法的实现及算法中重要参数 的选择问题。在实际中，噪声功率大小的也会对系统的收敛程度产生影响，噪声功率越大，即信噪比SNR越小，误差曲线就会明显增加，这就是更大噪声功率对算法中随机梯度的影响，可以通过下面两个仿真图看出。分别取信噪比SNR=5和SNR=20。 =0.001

图(2.1.5.6)(SNR=5)

图(2.1.5.7)(SNR=20)

　　2.2 递推最小二乘(RLS)算法

　　2.2.1 最小二乘法

设已知n个数据 ，…，  ，…，  ，利用图3.1所示的滤波器结构来估计期望信号 ，…，  ，…， 。对 的估计可表示成   式(2.2.1.1)

估计误差 -                    式(2.2.1.2)

根据最小二乘法， (n)的最佳值应该使下列累计平方误差性能函数为最小                       式(2.2.1.3) ， 其中0< <1， 称为遗忘因子。使用前加窗法，只用 的前 个误差，则      式(2.2.1.4)

前加窗法最小二乘性能函数为           式(2.2.1.5)

其中 。 引入m维矢量：   式(2.2.1.6)，而 维矩阵：  式(2.2.1.7)

                  式(2.2.1.8)

的最佳值满足方程                                 式(2.2.1.9)

从而有                                    式(2.2.1.10)

最终得到最小二乘算法的最后方程                  式(2.2.1.11)

2.2.2 递推最小二乘(RLS)算法

由于最小二乘法的运算量较大，一般不适合实时滤波，采用递推算法可以减少运算量。

由式(2.2.1.11)有                         式(2.2.2.1)

根据式2.2.1.7得                       式(2.2.2.2)

对矩阵求逆得        式(2.2.2.3)

其中 为一纯量。  矩阵   式(2.2.2.4)

N维矢量       ， 为增益系数                式(2.2.2.5)

由式2.2.2.4和式2.2.2.5逆推式2.2.2.3可得

                            式(2.2.2.6)

利用式2.2.2.6，就可以用递推的方式求m m维矩阵 的逆，使运算量降低。

式2.2.2.6两端乘以 ，利用式2.2.2.5可得

                                    式(2.2.2.7)

另外，根据式2.2.1.6可得                 式(2.2.2.8)

将式2.2.2.4，式2.2.2.6,式2.2.2.8代入式2.2.1.11就可以得到

式(2.2.2.9)

利用式2.2.2.5和式2.2.2.9的最后两项可简化为 ，而式2.2.2.9的前两项中的 即为 。所以由式2.2.2.9可得

                         式(2.2.2.10)

这即为递推最小二乘(RLS)算法的递推公式。

下图为RLS算法的流程图：