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论概率论和金融学的结合

2017-09-25 03:28 论文关键词:金融数学；概率论；鞅理论；最优停时理论
　　论文摘要:对现代金融数学的发展进行了较详细的综述，并就其研究动态及发展趋势进行了分析。
　　一、引言
　　现代金融理论伴随着金融市场的发展大量应用概率统计，这是经济数学化的最大成就，从而出现了一个全新的学科—-金融数学。金融数学是以概率统计和泛函分析为基础,以随机分析和鞅理论为核心，主要研究风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价、避险和最优投资消费策略的选择。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开发项目的评估（如实物期权）以及在金融机构的风险管理中得到广泛应用。现在对它的研究方兴未艾,21世纪肯定是它进一步蓬勃发展的时代。
　　
　　二、金融数学的历史进展
　　金融数学的历史可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶 (L·Bachelier)的博士论文—“投机的理论”(Theoryof Speculation)，这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用布朗运动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖, 买者看涨、卖者看跌, 其价格的波动是布朗运动(Brownian Motion) 其统计分布是正态分布, 这要比爱因斯坦1905年研究布朗运动早5年。
　　然而，巴谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达50多年。20世纪50年代初，萨缪尔森（PaulA.Samuelson）通过统计学家萨维奇（L·J.Savage）重新发现了巴谢利耶的工作，这标志了现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次是在1952年。那年，马尔柯维茨（H.Markowitz,1952）发表了他的博士论文，提出了“资产组合选择的均值方差理论”（mean-variance theory of portfolio selection）.它的意义是将原来人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险水平极大化期望收益，或者给定收益水平极小化风险，这就是上述“均值方差理论”的主要思想，我们可以将它看成是一个带约束的最优化问题。稍后，夏普（W.F.Sharpe,1964）和林特纳（J.Lintner,1965）进一步拓展了马尔柯维茨的工作，提出了“资本资产定价模型”（capital asset pricing model,简称CAPM）。它的要点是确定每一个股票和整个市场的相关性，于是，对于上述最优化问题，每个股票的持有量可以由该股票的平均回报率和该股票与市场的相关系数来确定。
　　值得一提的是20世纪60年代的另一个有影响的工作是萨缪尔森（Samuelson,1965）和法马（E.Fama， 1965）的“市场有效性假设”（efficient market hypothesis）,这本质上是对于市场完备性的某种描述。他们证明，在一个运作正常的市场中，资本价格过程是一个（下）鞅，换句话说，将来的收益状况实际上是不可测的，这项工作实际上为第二次革命做了铺垫。费希尔（Fisher）和洛里（lorie）利用1920年中期倒1960年中期的历史数据检测了“市场有效性假设”。他们的结果表明，在这段时间里，随机的选择股票并且持有，其平均回报率为每年9.4％，它要比一般的专业经纪人为他们的顾客运作所获得的赢利来得高。
　　金融数学的第二次革命发生在1973年。那年，费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯（F.Black and M.Scholes,1973 ）发表了著名的Black-scholes公式，给出了欧式期权定价的显示表达式。默顿和斯科尔斯在纪念布莱克的一篇文章（Merton and scholes,1995）中叙述了当年布莱克和斯科尔斯的文章被接受的困难程度，其原因是他们的工作超前了那个时代。不久，默顿获得了另一种推导方法，并且给以了推广。1979年，考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox,Ross,and Rubinstein,1979）发表了二叉树模型；同时哈里森和克雷普斯（Harrison and Kreps）提出了多时段的鞅方法和套利。1981年，哈里森和普利斯卡（Harrison and Pliska,1981）提出了等价鞅测度（这与“市场有效性假设”有密切的关系）。这些工作本质上是为了风险管理这个主题服务的。