测度论中的存在性及唯一性

　　关键词:λ-系;σ-代数;概率测度;延拓

　　论文摘要: 测度论是现代的一个重要分支，在概率、随机过程、微分方程、微分几何中有广泛应用。测度理论是实变函数论的基础。集类知识与单调类定理是测度论中的基础，特别是单调类定理.这个定理是一个很要紧的定理.在后面证明测度唯一性定理，乘积测度存在定理等重要的定理中有涉及。在严加安老师的《测度论讲义》上这个定理有两个版本，目前该书是对单调类方法应用的最多的。有一些看起来很难的问题，也许用这个定理会相当简单.将定义在一个λ族上的概率测度延拓为包含该λ族的一个σ上的概率测度,在许多重要场合,特别是在学中有着十分重要的意义.关于这种延拓的存在性、唯一性等,给测度论提出了一系列新的理论课题,本文试图对λ族上概率测度的延拓问题作一些初步探讨.

的定义

设 为 上的一族非负有界函数，称 为 族，如果它满足下列条件：

(1)

；

且 有界 。

设C为 上的一族非负有界函数，我们用 表示包含C的最小 族，并称 为由C生成的 族。

证明：测度论中 的存在性及唯一性

b（ ） 有界 C b（ ）.

往证：包含C的 族最小存在，且唯一，记为 .

令 ︱ C, 是 族 .

由于 故 非空，记

（一） 是含C的 族

验证： ， 有界，必有 .

任意固定 故 .

又 有界，而 是 族，故 ，从而

（二）设 也是含C的 族，且是最小的。

显然 ， =

=

族性质的引申：设 为 上的一族非负有界函数，我们用 表示非负有界 可测函数全体，则下列二断言等价：

（1） ）= ；

（2）

Proof： ,首先设 成立

    第一步：令 1       （#）

    则：（a） 1

      Proof：由（2）知：

      1

      (b) 1是 族

       Proof:：由（a）知 ，若 1， ，  由定义

        而 1

        设 不变   均

     即 1

     设 1  ， 有界  则

          1 1是 族

         由（a）(b)知 1且 1 从而 1=

[1]