以正方形为载体的中考试题赏析(2)

　　4  与对称、旋转相结合,注重考察学生变换的思想.

    例6  （重庆市）如图13，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD =S_△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是                .

　　解析  由题意可知△AED和△FED关于ED所在的直线对称,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE= ∠ADB=22.5°.则∠AGD= 180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=   ∠AEG =67.5°,则AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四边形AEFG是菱形.设AE=k,容易证得   △EFB和△OGF均是等腰直角三角形，则EB= k, OG= k.因此 EB=2OG.所以正确的结论是①、④、⑤，其余结论显然不成立。

　　例7 （黑龙江齐齐哈尔市） 已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图14），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图15），线段BM,ND和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

　　（2）当∠MAN绕点A旋转到如图16的位置时，线段BM,ND和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

　　解析  (1)如图17，把△AND绕点A顺时针90°，得到△ABE，则有DN=BE,∠EAM=      ∠MAN=45°.进而可证得：△AEM≌△AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.

　　(2) 线段BM,ND和MN之间存在MN = DN－MB.

　　点评  平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等.巧妙的运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以使题目的解答简易而顺畅.

　　5  与函数图象相结合,注重考察学生的数形结合思想.

　　例8  （湖南长沙市） 在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图18）按一定方向运动。图19是P点运动的路程s（个单位）与运动时间 （秒）之间的函数图象，图20是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.

　　（1）s与t之间的函数关系式是：                   ；

　　（2）与图20相对应的P点的运动路径是： 　　；P点出发         秒首次到达点B；

　　（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图16中补全函数图象.

　　解析  （1）图19是正比例函数图象，易求得s与t之间的函数关系式为：S= (t≥0)

　　（2）从图20的函数图象可以看出，动点P的纵y在运动时随时间t的增大开始时逐渐增大，而后又不变，最后又减小至0，说明P点在正方形的运动路径是：M→D→A→N.由图18、19可知，P点从点M运动到点B的路程为5，速度为0.5，所以首次到达点B需要时间为10秒.

　　(3)结合图18和图20，分析可得，第1秒之前，动点P从点M向点D处运动；第1至3秒时，动点P从点D向点A处运动； 第3至5秒时，动点P从点A向点B处运动；第5至7秒时，动点P从点B向点C处运动；第7至8秒时，动点P从点C向点M处运动.时间段不同，函数关系不同，因此列分段函数为：当3≤s＜5，y= 4－s；当5≤s＜7，y=－1；当7≤s≤8，y= s－8．补全的函数图象如图21.

　　点评  函数图象问题是数形结合的数学思想的重要体现，在中中也往往作为具有一定区分度的题目出现。例8是一个分段函数问题，其关键是依据函数图象弄清楚点P在正方形ABCD上的哪一段运动,坐标与时间、路程如何变化.

　　6 与实际问题相结合,注重考察学生构建数学模型的能力.

　　例9  （湖北荆门市）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图21所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图22所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

　　(1)判断图22中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

　　(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

　　解析：(1) 四边形EFGH是正方形．图22可以看作是由四块图21所示地砖绕C点按顺时针方向旋转90°后得到的,故CE=CF =CG=CH．因此△CEF是等腰直角三角形.所以因此四边形EFGH是正方形.

　　(2)设CE=x米, 则BE=（0.4－x）米,每块地砖的费用为y,有：y= x ×30+ ×0.4×(0.4-x)×20+[0.16- x - ×0.4×(0.4-x)]×10= 10(x -0.2x+0.24) =  10［(x-0.1)²+0.23］(0＜x＜0.4).所以当x=0.1米时,y有最小值,即费用为最省,此时CE=CF=0.1米．

　　点评   实际应用问题侧重考察学生的分析、理解问题的能力，它要求学生准确把握题目内容和要求的基础上，利用已有的数学知识，建立起方程、函数等数学模型，具有一定的难度.例9中的问题(2)就是建立二次函数关系式的数学模型,通过求函数最小值的方法求得答案.

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