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聚焦知识交汇 适应高考创新(2)

2013-06-04 01:56 进行点与对应点，线段与对应线段的位置与数量的细致分析，需找出变与不变量以及变化规律，因此，它是代数与几何、空间与平面的重要知识交汇点。

　　2．概率与数列的交汇

　　数列是以正整数n为自变量的函数，而n次独立重复试验中事件A出现k次的概率P_n(k)也是自然数n,k的函数，借助于自然数这一纽带，可实现数列与概率的交汇。

　　例4：质点从原点O出发，在数轴上向右运动，且遵循以下运动规律：质点向右移动一个单位的概率为 ，右移2个单位的概率为 ，设质点运动到点（n,0）的概率为P_n。

　　①求P₁和P₂。

　　②求证｛P_n－P_n－1｝是等比数列。

　　③求P_n。

　　解：①P₁= ，

　　②由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2个单位，故由条件可知： （n≥3）

　　上式可变形为

　　 是以 为公比的等比数列。

　　其首项P₂－P₁=

　　③由②知P_n­－P_n－1= （n≥2）

　　∴

　　

　　评注：本题解题关键是数列的递归规律，建立概率数列的递推公式，用数列知识解题，这种复杂的系列问题通过撷取其片段，解剖其规律，是破解难题的常用手段。

　　3．向量与三角、几何的交汇

　　向量既有长度，又有方向，因此，向量蕴含长度和角度，因此，以几何、三角为背景的问题便可成为产生向量问题良好温床。

　　例5：（04高考湖北卷19）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问 和 夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值。

　　解：如图建立直角坐标系，设|AB|=c，|AC|=b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0,b)且 ， ，设P点坐标为 ，则Q ∴ ， ， ，

且 ，

∴

∵

∴ ,∴

∴当 即 ，即 与 同向时， 最大，其值为0。

　　评注：本题为用向量形式表现的几何最值问题，具有较强的综合性，适时建立坐标系，利用向量的坐标形式，最终转化为三角函数，大大降低了解题的难度。同时，也对相关知识的化归能力提出了较高要求。

　　4．向量与立体几何的交汇

　　在最新版部编教材中，向量的内容有所加强，特别在平面向量的运算规律和平面向量基本定理进一步扩充到空间中，向量的工具性地位更加突出，因此，用向量解立体几何问题也不应局限在建立空间直角坐标系，用空间坐标运算来解决问题，而应着眼于向量的本质内容。

　　例6：已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁各棱长均为1，

　　且棱AA₁，AD，AB两两成60°角，E,F分别为

　　A₁D₁和B₁B中点，求EF的长。

　　解：设 ， ，

则由题设

又

∴

         ,   ∴

　　评注：本题新颖之处在于向量与立体几何的结合，并不只是建立空间直角坐标系，转化为坐标向量来解题。对于那种不方便建立空间直角坐标系的问题，如斜棱柱斜棱锥等可直接利用空间向量的运算性质解题。

　　5．向量与解析几何的交汇

　　由于向量在描述长度与角度上独特的工具性，解析几何有着向量展现的良好的基础，历年新高考试卷已在此积累了不少成功经验，04高考也不例外，使向量与解几的结合更加合缝与自然。

　　例7.（2005高考全国卷1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与 共线。

　　（Ⅰ）求椭圆的离心率；

　　（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值。

　　（I）解：设椭圆方程为

       则直线AB的方程为

       化简得 .   令

       则

       共线，得

又y₁=x₁-c, y₂=x₂-c,

∴ ∴ ,即 ,

∴ ,∴

　　故离心率 。

　　（II）证明：由（I）知 ，所以椭圆 可化为 .

       在椭圆上，      

       即     ①

       由（I）知

      

=0

又 ，代入①得 

　　故 为定值，定值为1.

　　评注：解向量与解几的交汇题，关键在于利用向量的坐标形式把向量条件转化为坐标条件。

　　6．数列与函数的交汇

　　数列与函数一脉相承，因此，数列与函数的交汇是传统的命题热点，04、05年高考更有长足的表现，把数列、函数、导数等知识点交汇在一起，综合程度和思维要求均有所提高。

　　例8（2005高考浙江卷）设点 ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x²＋a_n x＋b_n

　　(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－ ， 由以下方法得到：x₁＝1，点P₂(x₂，2)在抛物线C₁：y＝x²＋a₁x＋b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点 在抛物线 ：y＝x²＋a_n x＋b_n上，点 ( ，0)到 的距离是  到  上点的最短距离．

　　(Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

　　(Ⅱ)证明{ }是等差数列．

　　解：（Ⅰ）由题意得 ，设点 是 上任意一点，

　　则

　　令 ，则

　　由题意得 ，即

　　又 在 上，

　　解得 ，故 的方程为

　　(Ⅱ)设点 是 上任意一点，

　　则

　　令

　　则 由题意得

　　即

　　又 ， ，

　　即

　　下面用归纳法证明 ，

　　①当 时， ，等式成立；

　　②假设当 时，等式成立，即 ，

　　则当 时，由 知 ，

　　又 ， ，

　　即 时，等式成立

　　由①②知，等式对 成立，故 是等差数列。

　　评注：函数是特殊的数列，因此函数与数列具有天然的亲密关系，可我们在学习中，往往过分关注数列的特殊性和数列解题的特殊技巧，高考强调函数和数列的结合，有助于纠正这一偏差。

　　综上所述，知识交汇处是创新型试题生长的沃土，也是高考复习中十分重要的着眼点。在高考复习中，我们必须重视在知识交汇处挖掘复习素材，加强知识交汇点的训练，才能增强高考创新型试题的适应能力。

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