评价网 > 科教论文 > 理学毕业论文 > 数学论文 > 正文

初三数学几何定理的运用(2)

2013-06-29 01:28 这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。
教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：
⑴  问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？
答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。
目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。
继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？
答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……
        甚至有学生想到了两条平行弦……
目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。
⑵  问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？
答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……
目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。
⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

（转载自中国科教评价网http://www.nseac.com）

  下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。
①定理16（延长中线成矩形）→ 定理24（作矩形的外接圆）→ 定理34。
②定理51（一线过圆心，且两线垂直）→ 定理36（一线平移成切线）→ 定理47、48（绕切点旋转）→ 定理50。
③如下图，把 EF 向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论 ∠α＝∠D）：

⒊   推理模式
从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。
具体教学分三个步骤实施：
⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。
    ①   条件 → 结论 → 新结论             （结论推新结论式）
②      新结论     （多个结论推新结论式）
    ③     新结论      （结论和条件推新结论式）
⑵通过已详细书写证明过程 的题目让学生识别不同的推理模式。
⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。
这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。 （科教作文网http://zw.ΝsΕAc.Com编辑整理）
⒋  组合定理
基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。
下面通过一例来说明这一步骤的实施。
例1：已知如图，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线 AC  与 BD 相交于E，且 AB ＝ AE·AC，BD＝ 8。求△BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）
                    证明：连结OB，连结OA交BD于F。
       学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：
  比例基本性质 →  S/AS/  证相似 →相似三角形性质 →垂径定理 →勾股定理     →三角形面积公式
由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？
实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。
⒌  联想定理
分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

（转载自http://zw.NSEAC.com科教作文网）

例：如图，⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，AB是⊙O1 的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。
 
讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。
由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，