关于二面角的平面角定位分析(2)
2013-08-02 01:05
导读：［例1］：已知Ｅ是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=２，BC=１，现沿AE将△DAE折起至△DAE，使得D到B、C两点的距离相等，求二面角D-BC-A的大小。 解析：取AE中点
［例1］：已知Ｅ是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=２，BC=１，现沿AE将△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C两点的距离相等，求二面角D′-BC-A的大小。
解析：取AE中点P，BC中点Q．则可得PQ⊥BC，又由D′B= D′C，得D′Q⊥BC，
∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。
经计算得：∠D′QP＝ 23
找“点”，由定义确定二面角的平面角。
［例２］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线AC把△ABC折起，使点B在平面ADC内的射影B′ 恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。
解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。
在平面图形中过Ｂ作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变．但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱AC垂直。由特征（２）知，面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE，即为所求二面角的平面角。
另外，点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。
经计算：OB=AB·BCAC=3×45=125 ，AO=AB2AC=95 ，OE=AO·CDAD=2720 ，
在Rt△BEO中，设∠BOE＝θ ，则cos θ=OEOB=916，
∵0°＜θ＜180° ，∴θ=arccos916 ，
（转载自中国科教评价网www.nseac.com ）
即所求二面角B-AC-D为arccos916 ，
通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征（２）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。 由“垂线段”定位二面角的平面角。
［例3］：已知 二面角α-a-β为 ，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝８cm，PB＝10cm．求Ｐ点到a的距离。
解析：过PA 、PB作平面γ，分别与α、β交于AO、BO，
由PA⊥α，aα，知PA⊥a，又由PB⊥β，a β，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ ，
∵AO ，BO ，∴a⊥AO， a⊥BO，
∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°，
连PO，由PO迹得a⊥PO．∴PO的长为P点到a的距离。
经计算：AO ＝43 （cm），PO＝PA2+AO2=82+（43）2=47 （cm）． 由棱的“垂面”定位二面角的平面角。
［例４］：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为2，E为BC的中点．求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。
解析：面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角，由特征（２）知，这两个二面角的大小必定互补．通过特征（３）,我们只须由C′ (或D′)作B′E的垂线交B′E于H，然后连结HD′ (或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。
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经计算可得：Ｈ′C′＝455 ，在Rt△D′C′Ｈ中， ∠Ｄ′ＨＣ′=D′C′H′C′ =52，
