关于二面角的平面角定位分析(3)
2013-08-02 01:05
导读：故所求的二面角角为arctan52 或-arctan52 ． 二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良
故所求的二面角角为arctan52 或π-arctan52 ．
二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。
［例５］：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ｅ是CC1的中点，求截面AD1E与底面ABCD所成角的正切值。
解析：图中截面AD1E与底面ABCD只给出一个公共点，没有直接反映出二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点．通过补形作出棱，进而再求二面角的大小。
延长DC、D1E交于F，连AF，得截面AD1E与底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，过C作CH⊥AF于H，连EH，
∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF（三垂线定理）
∴∠ EHC即为所求截面AD1E与底面ABCD所成二面角的平面角．
可设正方体棱长为a，经计算得：EC＝CG＝a2 ，CF＝a，GF＝52a ，CH＝ ，55a
∴tan∠ EHC＝ECCH=52，
即所求二面角的正切值为52．
［另］：△D1FＡ在底面ABCD的射影是△DＦA，
S△DFA=12DF×DA=a2 ，又D1A＝2，S△D1FA =12D1A×322a=32a2，
由射影面积法，所求角（记为 θ）的余弦值为cosθ=S△DFAS△D1FA=23，
则所求二面角的正切值为52 。
［另］：还可用向量法求二面角的平面角。
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定位是为了定量，二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得．而作平面角也是由其基本定义出发，在棱上找一点，在半平面内找一点，或在二面角内找一点，从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现，可采取补形等办法作出二面角的棱。
综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。
