对高斯消元法的改进以及在工程上的应用

论文关键词：高斯消元法  非单调逻辑  超协调逻辑  约束

　　论文摘要：传统的高斯消元法只能处理多元一次方程组满秩的情况,本文应用人工智能中非单调逻辑和超协调逻辑的思想,通过对高斯消元法的改进,使其对所有的多元一次方程组都能进行有效的处理,从而扩展了在工程上的应用范围。

　　0　引言

　　传统的高斯消元法只能处理多元一次方程组满秩的情况,从而限制了它的应用范围。而近年来人工智能的发展,为改进高斯消元法提供了新的思路,改进后的算法编程简单,能处理所有的多元一次方程组,并在一个建筑CAD软件中进行了应用,取得了很好的效果。

　　1　对高斯消元法的改进

　　首先介绍一下高斯消元法。

　　则给定线性方程组的矩阵形式为Ax=b

　　A　　称为方程组的系数矩阵, 称为方程组的增广矩阵。

　　以r (A)和r (C)分别表示系数矩阵A与增广矩阵C的秩,则有

　　(1)当m=n且r (A) =r (C) =n时(即方程组满秩时),方程组有唯一解。

　　(2)当r (A) <r (C)时,方程组无解,这时的方程组称为矛盾方程组。

　　(3)当r (A) =r (C) =r<n时,方程组有无穷多组解。

　　1. 1传统的高斯消元法[1]

　　高斯消元法只能用于处理第一种情况,它的核心是消下三角矩阵法和消上三角矩阵法。经过消元后,增广矩阵变为

　　对于第二、第三种情况,高斯消元法则无法处理。在第二种情况下,方程组存在矛盾,但并不是每个方程之间都存在矛盾,某些变量还可能只存在唯一解;同样,在第三种情况下,方程组有无穷多组解,并不等于每个变量都有无穷多组解,某些变量可能只存在唯一解。而要找出在第二、第三种情况下的变量的唯一解,则必须对高斯消元法进行改进。而第二种情况下,方程组中必然存在一个变量同时取两个以上的值,即必须在超协调的情况下进行处理;在第三种情况下,方程组中必然存在一个变量无唯一解(即有无穷解),即必须在非单调的情况下进行处理。

　　以下我简单介绍一下超协调和非单调的概念。这两个概念最初是在人工智能中针对经典逻辑的单调性和协调性的概念提出的,在经典逻辑中知识是完备和不矛盾的,这时对知识的处理具有单调性和协调性,而现实生活中的知识是不完备的,并且可能存在矛盾。于是人们把知识不完备时对知识的处理称为非单调性,而把知识存在矛盾时对知识的处理称为超协调性。

　　随着人工智能对非单调知识和超协调知识处理的发展,逐步形成了不同于经典逻辑的新的逻辑体系——非单调逻辑和超协调逻辑。

　　非单调逻辑是经典逻辑的强化,因为在非单调逻辑中,一些原来在经典逻辑中推不出来的结论,现在可以在非单调逻辑中推出。而在经典逻辑中能推出的结论,在非单调逻辑中照样可以推出。

　　超协调逻辑是经典逻辑的弱化,因为在超协调逻辑中,一些原来在经典逻辑中能推出的结论,现在在超协调逻辑中不能推出。而在经典逻辑中不能推出的结论,在非单调逻辑中照样不能推出。

　　非单调性的解决方法是:对不完全知识的扩充。常用的非单调方法有限制、缺省理论、自知逻辑等。超协调性的解决方法是:维护协调性。常用的超协调方法有分域逻辑DL、超协调