求KdV方程孤立波解的方法综述

目  录

中文摘要  …………………………………………………………………………………………1
前言  ………………………………………………………………………………………………1
1 KdV方程的建立  ………………………………………………………………………………1
1.1 KdV方程的意义  …………………………………………………………………………1
1.2 KdV方程的发现　…………………………………………………………………………1
1.3 KdV方程的简单推导  ……………………………………………………………………2
1.4 KdV方程常见形式  ………………………………………………………………………3
2 KdV方程的孤立波解　…………………………………………………………………………4
2.1行波法………………………………………………………………………………………4
2.2 齐次平衡法　………………………………………………………………………………6
2.3 3角函数法　………………………………………………………………………………7
2.4 双函数法、吴文俊消元法…………………………………………………………………9
2.5  -展开法　………………………………………………………………………………11
2.6 Jacobi椭圆函数展开法  …………………………………………………………………13
2.6.1 Jacobi椭圆正弦函数展开法  ………………………………………………………14
2.6.2 Jacobi椭圆余弦函数展开法  ………………………………………………………15
2.6.3第3类Jacobi椭圆函数展开法 ……………………………………………………15

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求KdV方程孤立波解的方法综述
 
摘要：本文简单介绍了水中孤波的数学模型方程——KdV方程的发现和推导过程，简单介绍了KdV方程的重要意义，列举了该方程常见的几种研究形式，对最新的几种求KdV方程孤立波解的方法和计算过程进行了简单的归纳。这些方法有：行波法、齐次平衡法、3角函数法、双函数法、吴文俊消元法、 -展开法、Jacobi椭圆函数展开法、试探法等。这些求解方法都从不同的角度探讨KdV方程的求解和这些解的性质，然而这些方法又是相辅相成的。因为KdV方程是典型的非线性发展方程，是研究其他方程的基础，在此基础上发展起来的孤立子理论可以说是数学物理方法的里程碑，因此这些方法对其他非线性方程的求解有重要意义，并且对发现求解KdV方程的新方法有1定帮助。
关键词：非线性；KdV方程；孤立波解
Summary of Several Methods of Solitary Wave Solutions to KdV Equation
 

Abstract:　This article simply introduces mathematical model equation of the solitary wave in the water ------- discovery and deducing process of KdV equation , introduces vital significance of KdV equation, enumerates several common forms of KdV equation , and summarizes several newest methods of the solitary wave solutions to KdV equation . These newest methods includes traveling wave method , even balance method , triangle function method , double function method , Wu Wenjun elimination method ,  -expansion method , Jacobi elliptic function expansion method , trial method and so on . These methods discuss solution and nature of KdV equation from different angles . However these methods are complementary one another . The KdV equation is typical nonlinear development equation , is foundation of studying other development equation . The solitary theory based on this is milestone in mathematical physic . Therefore , These methods have the vital significance to solutions of other nonlinear equation .And it is helpful to find new methods to solve KdV equation. （转载自中国科教评价网http://www.nseac.com）
Keywords:　Nonlinear ; Kortweg-de Vries equation ; Solitary wave solution
前言
KdV方程是典型的非线性发展方程。对该方程的求解1直是研究的热门领域。目前，学者们发现了很多种求解方法，本文对常用的几种求KdV方程孤立波解的方法进行了简单归纳，并将这些方法所求出的孤立波解进行了统计。这对发现新的求解方法，以及将这些方法推广到求解其他非线性方程中有1定意义。

1　KdV方程的建立
1.1　KdV方程的意义
非线性作用的影响随着科学技术的发展，对于自然科学和社会科学来说，其影响越来越重要，因此，人们对此类问题的研究越来越深入。人们发现研究非线性问题的时候，都要将其用非线性的演化方程来描述。而孤立子理论的产生与发展是该领域中研究的的重要部分。正是KdV方程的建立确定了孤立波的存在。因此，可以说，KdV方程是典型的非线性发展方程。在此基础上发展起来的孤立子理论可以说是数学物理方法的里程碑。
究竟何为孤立波、孤立子？
孤立波是某1类偏微分方程中具有特殊性质的解，用来表现特殊现象的波动。孤立波在传播时保持匀速运动且形状不变，并且两列孤波相遇时不满足叠加原理，分开后仍然保持各自原速度继续传播，因为这种性质与粒子的性质10分相似，所以孤立波又可以叫做孤立子。平常我们把孤立波简称为孤波，孤立子简称为孤子。对孤波而言，水中孤波是最简单的，是研究其他孤波的基础。水中孤波的数学模型方程即KdV方程。
1.2　KdV方程的发现
KdV方程是如何建立的呢？我们先来回顾1下历史。