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利用矢量作图法巧解力学中的极值问题

2013-05-29 01:14

利用矢量作图法巧解力学中的极值问题
利用矢量作图法巧妙地求解出一些物理量的极值问题，具有直观性，简单明了，可简化解题过程达到快速求解。下面就用矢量作图法来求解物理量的极值问题做一些探讨。
一、判断绳上拉力的极值
例1. 三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图1，其中OB是水平的，A端、B端固定，若逐渐增大C端所挂物体的质量，则最先断的细绳是（）
A. 必定是OA B. 必定是OB
C. 必定是OC D. 可能是OB，也可能是OC

图1
解析：对O点进行受力分析，O点受到三根绳的拉力分别是，如图1-1所示，由于O点静止，则三力矢量和为零，即其中任意二力的合力与第三个力等值反向。作出力合成矢量图，由直角三角形的边角关系可知，绳OA上实际拉力最大，故当C端所挂物体的质量逐渐增大过程中，三段绳上拉力虽然都增大，但绳OA上实际拉力最先达最大承受力，必定先断，其他两根绳实际拉力均未达最大承受力则不断，所以答案A正确。

图1-1
点评：通过力的矢量图中边长的长短即可判断出三根绳上实际拉力的大小关系，在都增大的过程中，最长边表示的拉力先达极值。
二、求解最大重量
例2. 用细绳AO、BO悬挂重物，BO水平，AO与竖直线成45°，如图2所示。AO、BO所能承受的最大拉力均为10N，OC能承受足够大的拉力，为使细线不被拉断，则所挂重物的最大重量是多少？

图2
解析：O点受三根细线的拉力分别为，作出矢量合成图如图2-1，由于O点静止，与的合力R必与等值反向，即，由直角三角形边长关系可知，故应选满足AO细绳上实际拉力取最大值，即，而OB细线上实际拉力则小于10N，此时所挂重物的重量达最大，则最大重量

为所求。

图2-1
点评：由力矢量图可知，二根细线拉力不能同时达最大，只能满足较大的拉力达极值，而另一根细线拉力则小于极值，再来求解最大重量。
三、求解最小外力
例3. 如图3，在水平面上放有质量为m，与地面动摩擦因数为的物体，现用力F拉物体使其沿地面匀速前进，求F的最小值及方向。

图3
解析：物体m受重力mg，地面支持力、动摩擦力及拉力F（方向未知）。设与的合力为R，并且R与竖直方向夹角为θ，此时可视为物体m受R、F、mg三个力作用而匀速前进，则R与F的合力必与mg等值反向，要使F为最小值则需表示F的有向线段为最短，故应使F与R垂直，此线段最短，F为最小，如图3-1，由矢量图可知：

图3-1

其中
由动摩擦力 式：

由几何关系：
将<2><3><4>式代入<1>式则，方向为与水平面成斜向右上方。此题也可用正交分解法列方程来求解，但计算较繁琐。
点评：本题通过分析作出力的矢量合成图，找到表示F的最短边长，运用几何关系及物理知识而求出F的极值和方向。
四、求解最小弹力
例4. 如图4小球被轻绳系着，斜吊在光滑劈面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动劈，在这个过程中，绳上拉力最小值是多大？

图4
解析：小球受重力mg、斜面支持力，轻绳拉力三个力作用，在劈缓慢向右运动过程中，三个力的合力为零。作出力的矢量如图4-1，其中mg大小方向不变，方向不变只是大小变化，大小方向均变化，但是与的合力R与mg等值反向，由mg的大小和方向可作出R的大小和方向，过R的矢量末端作出与矢量的平行线，要使拉力最小则需与相垂直，表示大小的有向线段为最短，则拉力为最小，此时轻绳与斜面相平行，拉力最小值为所求。

图4-1

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点评：本题通过力矢量合成作图，经过不断变化最终找出表示的最短边长，从而确定出的极值。
五、求解最小位移
例5. 小船在静水中运动速度为，水流速度为，且，设河宽为L，求小船渡河的最小位移。
解析：如图5所示，以矢量的末端P为圆心，以矢量的大小为半径画圆，过矢量的始端O作该圆的切线OA，当合速度v的方向沿OA方向时渡河位移最小，此时船头指向（即的方向）与上游河岸的夹角为此时渡河最小位移为

图5
点评：通过对两个分速度矢量的合成分析而确定出最小位移的方向，再运用几何知识求出位移s的最小值。
综上所述，掌握矢量作图法对解决物理中极值问题会有很大的帮助，对于那些用常规解析法求极值较冗长的物理问题，有时用矢量作图法会很快地给予解决，能起到事半功倍的效果，所以平时训练中掌握矢量作图法是十分必要的。