例谈导数在求物理极值问题中的应用
2013-05-31 01:08
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例谈导数在求物理极值问题中的应用
“导数与微分”已
例谈导数在求物理极值问题中的应用
“导数与微分”已列入高中数学教学大纲,将成为
高考的热点之一。高中物理教学大纲中明确指出“
应用数学处理物理问题的能力”是物理教学的一项重要内容,是高考能力考查的重要组成部分。为了体现数学学科的工具性和实用性,加强学科间的渗透,并由此强化对学生的能力考查。本文仅仅举几例说明导数在求物理极值问题中应用。
例1 一辆小车在轨道上行驶的速度为可达50km/h,在轨道外的平地上行使速度可达40km/h,与轨道的垂直距离为30km的处有一基地,如图1所示,问小车从基地出发到离点100km的处的过程中最短需要多少时间(设小车在不同路面上的运动都是匀速运动,启动时的加速时间可忽略不计)?
解析 如图1所示,设段的距离为则小车走完全程所用时间可表示为:
求的导数得
令即,解得。
当时,;当时时,,(左负右正)。
因此当时,时间有最小值,即
如图2所示电路中,电阻可变电阻,电源的电动势为,内电
阻为,求为多大时,电源的输出功率最大?最大值是多少?
解析 据功率公式及闭合电路欧姆定律得,求导得,
令,解得,或(舍去)。当时,;当时,(左正右负)。因此当时,有最大值,即 。
在电场强度为的水平匀强电场中,以初速
度为竖直向上发射一个质量为、带电量为的小球,求小球在运动中具有的最小速度。
解析 运用运动合成的知识
求解。如图3所示,小球在水平方向上做初速度为零的匀加速运动,在竖直方向上做匀减速运动,取如图3所示的平面坐标系,设经过时间,小球的分速度分别为
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且 ,
则小球在时刻的合速度为
设,对求导得
,
令,解得 。当时,;当时,。 (左负右正)故当时,有最小值,即
故速度的最小值为
,即 。
应用导数知识求物理极值的目的在于拓宽学生的解题思路,开拓视野,展示物理和数学的密切关系,提高学生应用数学知识解决物理问题的能力。