06年高考试题中的碰撞问题
2013-06-23 01:03
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06 年 高 考 试 题 中 的 碰 撞 问 题
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06 年 高 考 试 题 中 的 碰 撞 问 题
打击、碰撞问题与日常生活息息相关,很多实际情景可提炼抽象成碰撞模型,这类问题的背景材料十分丰富。另外,打击、碰撞过程中相互作用的两个物体在打击、碰撞前后各自可有丰富的运动形式,从前些年的直线运动,到06年的圆周、平抛运动;碰撞的对象非常广泛,大到宇宙中的天体,小到微观粒子,这类问题又能够将高中的主干知识贯穿起来。因此,在题量少,分值大的理综
模式中更是频频出现。06年的天津、四川、重庆理综卷,单独考试的江苏、广东卷中都出了大题,其中四川、重庆和广东卷更是以压轴题形式出现。品读这些题目,其突出表现为三大特点:一是,碰撞的形式丰富,囊括了所有的类型,从天津、四川、重庆、广东卷中的正碰到江苏卷中的斜碰(巧取参考系后,可转化为正碰)。碰撞中又涉及到弹性碰撞(重庆卷)、非弹性碰撞(四川卷)、完全非弹性碰撞(天津卷);二是,碰撞前后物体的运动形式非常丰富,从沿袭以往的直线运动(天津卷)到受轨道制约的圆周运动(重庆卷),复合场中的平抛和圆周运动(四川卷);三是,碰撞呈现出周期性(重庆和广东卷)。
正碰问题
碰撞过程的前后,相互作用的物体的速度在一条直线上的碰撞问题。
⑴弹性碰撞
弹性碰撞是指碰撞过程中的动量守恒,机械能守恒。
例1、(06年重庆理综压轴题)如图所示,半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑,与静止于轨道最低点的B球相撞,碰撞后A、B球能达到的最大高度均为,碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求:
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(1)待定系数β;
(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;
(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度,并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
解析:A、B可看作质点, A、B在轨道最低点发生弹性正碰。
(1)由 得
(2)设 A、B 碰撞后的速度分别为、,则
设向右为正、向左为负,解得
,方向向左
,方向向右
设轨道对 B 球的支持力为 N, B 球对轨道的压力为N′,方向竖直向上为正、向下为负.则,,方向竖直向下
(3)设 A、B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为 V1、V2,则
解得 (另一组解:V1=-,V2=-不合题意,舍去)
由此可得:
当 n为奇数时,小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同;
当 n为偶数时,小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同;
⑵非弹性碰撞
非弹性碰撞的特点是,碰撞过程中动量守恒,机械能有损失,但损失的不是最多。
例2、(06年四川理综压轴题)如图所示,在足够大的空间范围内,同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场,磁感应强度B=1.57T。小球1带正电,其电量与质量之比q1/m1=4 C/kg,所受重力与电场力的大小相等;小球2不带电,静止放置于固定的水平悬空支架上。小球1向右以=23.59 m/s的水平速度与小球2正碰,碰后经过0.75 s再次相碰。设碰撞前后两小球带电情况不发生改变,且始终保持在同一竖直平面内。
(取g=10 m/s2)
问(1)电场强度E的大小是多少?
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(2)两小球的质量之比是多少?
解析:(1)小球1所受的重力与电场力始终平衡
①
②
(2)相碰后小球1做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得:
③
半径为 ④
周期为 ⑤
因为两小球运动时间
所以小球1只能逆时针经个圆周时与小球2再次相碰 ⑥
第一次相碰后小球2作平抛运动 ⑦
⑧
两小球第一次碰撞前后动量守恒,以水平向右为正方向
⑨
由⑦、⑧式得
由④式得 17.66 m/s
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所以两小球质量之比 ⑩
由以上解析过程知,1、2小球发生的是非弹性正碰。
⑶完全非弹性碰撞
完全非弹性碰撞跟非弹性碰撞的区别仅在于这时能量损失最多,特点是碰后两者达到共同速度。
例 3、(06年天津理综)如图所示,坡道顶端距水平面高度为h,质量为m1 的小物块A从坡道顶端由静止滑下,进入水平面上的滑道时无机械能损失,为使A制动,将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上,另一端与质量为 m2 档板 B相连,弹簧处于原长时,B恰位于滑道的末端 O点。A与B碰撞时间极短,碰后结合在一起共同压缩弹簧,已知在 OM段 A、B 与水平面间的动摩擦因数均为,其余各处的摩擦不计,重力加速度为 g ,求
(1)物块 A在与挡板 B碰撞前瞬间速度的大小;
(2)弹簧最大压缩量为 d时的弹性势能 Ep(设弹簧处于原长时弹性势能为零)。
解析:A、B碰后结合在一起运动,则表明碰撞是完全非弹性碰撞。
(1)由机械能守恒定律,有
(2)A、B在碰撞过程中内力远大于外力,由动量守恒,有
A、B克服摩擦力所做的功
由能量守恒定律,有
解得
⑥
二 斜碰
碰撞过程的前后,相互作用的物体的速度不在一条直线上的碰撞问题。
例 4、(06年江苏卷)如图所示,质量均为 m的 A、B两个弹性小球,用长为 2l的不可伸长的轻绳连接。现把 A、B两球置于距地面高 H处(H足够大),间距为 l 。当 A球自由下落的同时,B球以速度指向A球水平抛出。求:
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(1)两球从开始运动到相碰,A球下落的高度。
(2)A、B两球碰撞(碰撞时无机械能损失)后,各自速度的水平分量。
(3)轻绳拉直过程中,B球受到绳子拉力的冲量大小。
解析:碰前A做自由落体运动,速度方向竖直向下,B做平抛运动,速度与竖直方向存在一夹角,因此是斜碰。
(1)设 A球下落的高度为 h
①
②
联立①②得
③
(2)由水平方向动量守恒得
④
由机械能守恒得
⑤
式中 ,
联立④⑤得
,
⑶A、B两球竖直方向同步运动,绳子绷直时绳子上产生的弹力只沿水平方向,由水平方向动量守恒得
另解 :若以跟A、B同时做自由落体运动的物体为参考系,则可把斜碰转化为正碰。
(2)由A、B相碰过程中,动量守恒 ,机械能守恒得
解得 ,
⑶绳子绷直过程中动量守恒
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B球受到绳子拉力的冲量为
06年广东卷涉及到的碰撞情况很简单,这里不再赘述。