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“斜率”的物理意义与解题应用
物理与数学的关系极为密切,物理状态、物理过程及物理量之间的关系可以用图像来表示,这是研究、处理物理问题和学好物理的重要方法和手段。尤其是图象中的斜率问题,斜率问题有两种类型:图象的斜率表示某一物理量的变化率,图象的斜率表示某一物理常量。
一、“斜率”表示某一物理量的变化率
1 “斜率”表示的物理量随时间的变化率
位移-时间图表中的斜率表示速度;速度—时间图象中斜率表示加速度;动量—时间图像中斜率表示合外力;磁通量—时间图象中斜率表示感应电动势等等。
例1 如图1为某一运动物体的速度—时间图象,其初速度为,末速度
为,加速度为,则下列说法正确的是( )
A 物体做曲线运动 B ,a逐渐减小
C ,a逐渐增大 D ,a逐渐减小
解析 ⑴因在“速度——时间”图象上,只能表示出在同一直线上的“正”、“负”两个方向,所以在“速度——时间”图象只能描述物体做直线运动的情况;
⑵如果物体做匀变速运动,表示运动物体速度的直线与时间轴的夹角的正切表示物体的加速度。据此我们可以外延一下:如果物体不做匀变速运动,表示物体的运动的图线的图线为一曲线,曲线上每一点的切线与时间轴的夹角为该点的瞬时加速度,由图象上可以看出,图象上每点切线与时间t轴的夹角θ的正切,即每点的斜率逐渐的减小,所以物体做加速度逐渐的减小运动;
⑶用直线连接表示物体A速度的曲线1的两个端点,连接的直线2表示物体做匀加速直线运动,则由所学知识知道,连线2下面的阴影部分的“面积”s1为匀加速运动的位移,而表示物体A速度的曲线1下方的“面积”s1+s2则表示物体A的位移,因,,故答案选B。
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解析 U-I图象中任一点(I,U)的斜率就是该状态下的电阻值。电流越大,温度越高,电阻率越大,因此电阻值越大,斜率也应越大。A中斜率不变,C中斜率减小,D中斜率先变大后减小,均不符合实验事实,答案应为B。
2 利用“T2—L”图象斜率求重力加速度g
某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中,测出了
在不同摆长L时的周期T,并以T2为纵坐标,以L为横坐标,描
点连线画出如图6所示的图象,试由图线求重力加速度值。
解析 由单摆周期公式得L,所以
在T2—L图象中,斜率值等于,即,解得g=9.96m/s2。
3 利用“U-I”图象斜率求电源内电阻r
由闭合电路欧姆定律E=U+Ir得外电压U随电
流I的变化关系U=-Ir+E ,如图7,当断路时,
路端电E压等于电源电动势E;当短路时,
,则图线斜率k=tan,所以图线斜
率的绝对值等于电源的内电阻r。
练习 在”测定电池的电动势和内电阻”实验中,测出数据做出电池A、B的U-I图象,
如图8所示,从图中可以看出,电池A内电阻rA=______Ω,电池B的电动势EB=_______V,若将某电阻器分别接在电池A和电池B的两极之间时,电阻器消耗的电动势相等,则此电阻器的阻值为____Ω。(答案:1.25Ω;1.5V;1.25Ω)
4 利用“a—F”图象斜率求物体质量m (科教作文网http://zw.ΝsΕac.cOM编辑)
例6 如图9所示,两物体A、B都静止在同一水平
面上,它们的质量分别mA、mB,与水平面间的动摩擦因
数分别为、。现用平行于水平面拉力F拉A、B,
所得两物体加速度a与F关系图象分别如图10所示,则正确的是( )
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
A ⑴⑵ B ⑴⑷ C ⑴⑶ D ⑵⑶
解析 由牛顿第二定律得,即,
所以图象斜率表示质量的倒数,。图线在纵轴上的截距
表示,所以,故应选C。
5 “EK—υ”图象斜率表示普朗克常数h
例9 用不同频率的光子分别照射钨和锌,发生光电效应,跟据实验可画出电子的最大初动能随入射光频率υ变化的图线,已知钨的逸出功是3.28eV ,锌的逸出功是3.34eV,若将二者的图线画在同一个坐标系中,则正确的是图11中的( )
解析 由爱因斯坦的光电效应方程知,图象中图线的斜率表示普朗克常数h,因h大小恒定,因此图象中的图线应相互平行。图线在纵轴上的截距大小表示金属的逸出功,所以答案A正确。
另外,关于利用图象斜率求物理量的问题还有很多,如利用F—x图象斜率求弹簧的劲度系k;利用
F—q图象斜率求某点场强E;利用Q—U图象斜率求电容器的电容量;利用斜率求介质的折射率n等等,这里不一一再述。
总之,图象的斜率是分析、处理物理问题的一种重要工具。利用它可使复杂的物理问题简单化、清晰化,使解题起到事半功倍的效果。要学好物理,就应正确理解斜率在物理问题中的含义并掌握其应用。