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用一道高考题的结论快速解决一类问题

2013-07-21 01:02

用一道高考题的结论快速解决一类问题

 原题：如图１所示，AO，AB，AC，AD分别为竖直平面内三根固定的光滑细杆．AO竖直，AB，AC，AD的倾角分别为600，450，300，且高度相等。每根杆上都套有一小滑环，四个小球同时有最高点释放，分别沿四个滑杆运动，运动到最底点的时间分别为，则
①比较的大小关系；
②当第一个滑环到达最底点时，其他三个小球的位置如何？
常规解法：
解：①　依题意分析可知，四个光滑的细杆高度相等，可设为，斜面的倾角设为，则，
 物体运动的位移　　，
 物体运动的加速度　　，
 依据，解得，
 由上式，可以看出，倾角越大，时间t越小．
 所以，．
 ②　AO杆的倾角最大（），所以沿AO运动的滑环先着地，
 位移，着地时间，
 此时，沿AB运动的滑环的位移　，
 沿AC运动的滑环的位移　，
 沿AD运动的滑环的位移　．
 此题并不难，按匀变速运动的基本规律就能解出答案，但过程相对而言较繁．但如果我们能联想到下面这道高考题，并利用它的重要结论来解题的话，就会显得快捷多了．
 高考题：如图２所示，是竖直平面内的三根固定的光滑细杆．位于同一圆周上，a为圆周的最高点，d为最底点．每根杆上都套着一个小滑环（未画出），三个滑环分别从处(初速度为零)，用依次表示滑环到达d点的时间，则（　　）
 A．  B．
 　C．　D．
 分析：本题的特点是都是圆的弦，且连接ab ,ac都可以构成直角三角形，且每个直角三角形的斜边都是圆的直径．若设出圆的直径、弦与竖直直径之间的夹角，就能表示出弦的长度和物体运动的加速度．

 解：设圆的直径为d，弦与竖直直径之间的夹角为，则
 斜面长，
 物体运动的加速度，
 依据，解得，
 显然与弦与竖直直径的夹角无关．所以，正确答案为D．
 由此题，我们可以适当地加以变形和延伸：
 变形题：如图3所示，同一竖直圆周上有三条光滑的弦,三条弦的另一端都与顶点重合，现将一物体从最高点沿三条弦由静止同时释放，滑到圆周上的时间分别为 ，则这三个时间的关系为(　　　)
 A．  B．
 　C．　D．
 解析:连接弦的端点与圆的底点，则弦与直径以及它们的连线构成直角三角形．设圆的直径为，弦与直径之间的夹角为 ，则：
 物体运动的位移　，
 物体运动的加速度　，
 依据，解得，
 显然与弦与竖直直径的夹角无关．所以，正确答案为A．
 结论：各条边有一个公共端点，这些边均为同一个圆的弦长，且构成的圆的圆心在竖直方向上，则物体沿这些光滑路径由一端下滑到另一端所花的时间相等；反之，若在相等的时间内从同一位置沿不同路径运动到达的末位置点在同一个圆的圆周上，则这些位置点与圆的直径的另一个端点的连线构成直角三角形．
 所以，现在我们再来看那道原题：
 我们可以以AO为直径作圆，则此圆与AO，AB，AC，AD分别交于．由上面的结论，我们可以知道，当滑环沿AO从A滑到O点时，沿AB，AC，AD下滑的滑环恰好到达点．很显然，到达最底点的时间有的关系．且当滑环从A滑到O点时，利用简单的几何知识可以求出沿AB，AC，AD下滑的滑环的位移，分别为，，．
 当我们掌握了这一规律后，此类问题就可以迎刃而解了．而且，方法简洁，思路更加清晰明了．所以，我们在做题时，切不能就题论题，一定要去探究题目中隐含的规律，只有总结出了各类题目的规律后，我们才能达到举一反三，灵活运用的目的．大家也可以根据上面总结的规律，看下面一题： （科教范文网http://fw.ΝsΕΑc.com编辑）
 如图５所示，通过空间任意一点O，可以作无限多个斜面，若将若干个小球在 O点分别由静止沿这些倾角不同的光滑斜面同时释放，那么在任一时刻,这些物体所在的位置是( 　 )
水平面  B.球面  C.抛物面  D.无法确定
答案：B．