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直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
注：简单的等周问题需要了解下述4个定理：
在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的筒单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
（3）初中数学竞赛大纲（修订讨论稿）与高中数学竞赛大纲对其它竞赛原理的要求的异同：
初中数学竞赛大纲
高中数学竞赛大纲
逻辑推理问题
抽屉原理及其简单的应用；
简单的组合问题；
简单的逻辑推理问题，反证法；
极端原理的简单应用；
枚举法及简单应用
其 它
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
五、优秀初中生MO思维培养的途径与方法。
我国的奥林匹克数学活动分为大众化和选拔性两种。对于绝大多数学生来说，面对的是大众化的试题。尽管如此，从历年的情况来看，一份好的MO试题必然会在以下各个方面有所创新和突破，比如具有一定的普及性和大众化，普及和提高相结合，知识性和趣味性高度统一。
1、 通过MO试题命制的相似原理来寻求突破口
初中学生的MO试题和高中学生的MO试题要求的水平不完全相同。从简单的知识应用到朴素的归纳分析，从机敏严谨的逻辑推理到实际模型与数学模型的相互转化，两类试题反映了智能水平的不同层次。但是这些不同层次的试题有相当多是由相同的原理相互转化得到的。
下题是一道以抽屉原理为背景的问题，其难度属于小学奥数水平。
例题3 四年级6个班参加义务植树劳动，已知总共植树328棵，且每个班植的棵数互不相同，其中最多的植62棵，试问植树最少的班级至少植几棵？
下题是1991年全国高中数学联赛试题。
例题4 设an为下述自然数的个数：N的各位数字之和为n且每位数字能取1，3或4，证明：a2是完全平方数（1，2，…）。
这道题可以通过递推关系式an=an-1+an-3+an-4（n﹥4）来求解，其背景也比较简单。但是就其要求的综合性和灵活性来说已经属于高中数学的层次了。
2、奥林匹克数学是一门强调解题的规律和艺术的学科。说到解题的方法，无非是将许多常用的知识联系、结合在一起，知识的应用性和逻辑性并重。我们完全可以把初中甚至小学里学过的奥数知识结合起来，将它们创造性地运用到高中奥数的解题过程中去。
通过对初中和高中两个层次的数学竞赛大纲对比分析，我认为优秀初中生可以从以下方面培养自己的MO思维。
（1）初中数学与高中数学在多项式、数列与递归、函数与方程、极值和不等式以及数论问题等方面的知识层次上既有量的巨大差别，也有质的不同。我们在优秀初中生的培优竞赛活动中只能强调学生掌握好其中的一些常见的解题方法和解题策略。这样做既有现实的意义，同时对于提高初中生的逻辑思维能力和分析推理能力也有重要的作用。
比如，掌握化归的方法。化归是数学解题中常用的一和方法，也就是转化和归结的简称。有些数学试题初看起来，似乎很难找到解题的途径，这时我们采用转化的手段，将待解决的问题归结为相对容易解决或已有固定解答模式的另一种问题，通过对这一问题的解决，得到原问题的解答。
[9]例题5 正数a、b、c、A、B、C，满足条件a+A=b+B=c+C=K，求证Ab+bC+Ca﹤K2。
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这是前苏联第二十届数学奥林匹克试题。本题如果用代数方法证明，则比较繁难。可以根据题设条件构造几何图形，将代数问题转化为几何问题，数形结合，解法就显得灵活而且简洁。
证明:如右图,作边长为K的等边三角形△PQR，分别在PQ、QR、RP上取点N、L、M，使QL=A，LR=a，PN=C，NQ=c，MR=B，PM=b，得到，S△NQL+ S△LRM+ S△MPN﹤S△PQR，即
aB+ bC+ cA﹤ k2，所以， aB+bC+cA﹤k2。
（2）几何问题在奥林匹克数学中占有十分重要的地位。据统计，几何问题特别是平面几何问题是国内外数学竞赛中出现最多的题型之一。不论是常规的平面几何问题还是组合几何问题通都常涉及广泛的数学方法与技巧。比如综合几何法、几何变换法、代数方法以及分析法、综合法、反证法等。
在几何问题的求解方面，初中培优生应着重掌握两种方法。
第一种是逆向分析法，即从问题的结论出发，逐步寻求结论成立的条件，若所寻求的每个条件都成立，便可断言结论正确。其特点是由果溯因。
例题6 [10]（第20届国际中学生数学竞赛试题）
在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，并且与AB、AC分别相切于P、Q，求证P、Q连线的中点是△ABC的内心。
该题的解题思路可以作逆向分析如下：
要证明E是△ABC的内心←只需证明E既在△ABC的顶角平分线上且在其中一个底角的平分线上 ← 证明A、E、O`、D与大圆圆心共线（用平面几何定理）；要证明EB是∠ABC的角平分线←只需证明Rt△EPD≌Rt△BPD。
第二种是几何变换法。如果只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小，这种几何变换叫合同变换，包括平移、对称、旋转等三种。要熟悉在哪种情况下使用哪一种变换方式。
例题7 如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使△BMD为等腰直角三角形。
分析：这是一道高中奥赛题，按常规方法解答较繁，但实施对称变换却可以避繁就简。分两种情形，第一种是当C、E位于同侧时，如图（a），作A关于B、D的对称点A′来证明。第二种是当C、E位于异侧时，作如图（b）所示的对称点A′来证明。
（转载自中国科教评价网http://www.nseac.com）
图（a） 图（b）
（3）通过探索题来培养学生发现问题，提出问题，并创造性地解决问题的能力。探索题往往以一个简单的特殊的情况为背景，要求考生在分析题意的基础上通过提炼、归纳、猜想，寻找一般规律从而获得新的结论，然后证明所猜想的结论的正确性。解答探索题实质上是探讨实际问题数学化，复杂问题简单化，具体问题抽象化的过程。通过探索题，学生不但可以加深对数学知识的理解，学到创新的思路和方法，也能激发他们求知的欲望。
[11]例题8 如图（a），已知：在△ABC中，AB=BC= ，∠B=900,AC,上有一动点P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F。
第一 设BF=x，用含x的代数式把Rt△AEP、Rt△PFC及矩形EBFP的面积表示出来；
第二 是否存在这样的点P，使Rt△AEP、Rt△PFC及矩形EBFP的面积都小于4。
图（a） 图（b）
这是一道初中结业考试水平的试题。显然，第一个问题中S△AEP= ，
S△PFC= ，S矩形EBFP= 。
为了解答第二个问题，我们可以先设这3个图形的面积为y1= ， y2= ， y3= ，其中0＜x＜。如图（b），我们在几何画板中绘出这三个函数的图象，可以更直观地看出图形的面积表达式。
计算知，各个函数的交点分别为O（0，0）、A（ ，4）、B（ ，4）、C（ ，0）。在 ﹤x﹤时，y2≥4;在0﹤x﹤ 时, y3≥4。
所以在0﹤x﹤中，y1、y2、y3最大面积都不小于4。故本题的回答是否定的。
（4）重视分类讨论数学思想的训练。
在数学研究中，当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我们必须按照可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，叫做分类讨论思想。数学中集合的概念与逻辑学中概念划分的方法是分类讨论思想方法的理论依据。
分类讨论的思想常常被应用于中考数学压轴题的解答中。在每一届的CMO、IMO试题中也屡见不鲜。
在解答这类试题时，要让学生掌握好分类的原则：第一是无遗漏，也就是分类所得的子项外延的总和，应当与被分类的概念的外延相等。第二是无重复，也就是分类所得的各个子项，应当是互相排斥的。第三是标准同，也就是每一次划分的标准必须是相同的。
例题9 已知在RT△ABC中，∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米。求RT△ABC的内接正方形的边长。
这道题必须分为2种情况讨论，第一种是当内接正方形的边与直角三角形的直角边重合时；第二种是当内接正方形的边与直角三角形的斜边重合时。图示如下，解题过程略。
（转载自http://www.ＮＳＥＡＣ.com中国科教评价网）
分类讨论的思想在数学解题过程中是如此重要，但是我们也要掌握好在哪一种情况下才是必须使用分类讨论思想的，否则容易被试题的表面现象所迷惑，从而误入岐途。
下题是一道第22届IMO预选题。
例题10 证明，如果等边凸五边形ABCDE的各个角满足：∠A≥∠B≥∠C≥∠D≥∠E，那么它一定是正五边形。
这道题给出了一系列的条件∠A≥∠B≥∠C≥∠D≥∠E，貌似必须使用分类讨论的思想去解答，但是如果真的使用分类思想去讨论的话就容易进入命题者设置的“陷阱”，因为此题只须以其中二条边的论证就可以得到整道题的证明了。
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[1] ，《对数学竞赛的一点点看法》，佚名
[2] 王元：《回忆三十一届IMO》，《中等数学》，2008年，第10期，第2页
[3] ，《奥林匹克数学竞赛介绍》，zytsinghua_06
[4] 赵小云：《奥林匹克数学方法与解题研究》，科学出版社，2005年，第一版，第9页
[5] ，《数学创造教育应当确定和强化的几种观念》，郭楚明
[6] ，《初论数学思想的教学功能》，杨新兴
[7] 张远增等：《初中数学开放性问题》，华东师范大学出版社，2001年第一版，第33页
[8] 赵小云：《奥林匹克数学方法与解题研究》，科学出版社，2005年，第一版，第17页
[9] 谢树发：《历届全国初中数学竞赛经典试题详解》，农村读物出版社，2003年，第一版，第282页
[10] 谢树发：《历届全国初中数学竞赛经典试题详解》，农村读物出版社，2003年，第一版，第276页
[11] 陈守义：《生活 数学 社会》上海科学技术出版社，2004年，第一版，第274页
本文系北师大网络教育本科学位论文（有节选）
参考文献
1、，《对数学竞赛的一点点看法》，佚名
2、王元：《回忆三十一届IMO》，《中等数学》，2008年，第10期
3、，《奥林匹克数学竞赛介绍》，zytsinghua_06
4、赵小云：《奥林匹克数学方法与解题研究》，科学出版社，2005年，第一版
5、，《数学创造教育应当确定和强化的几种观念》，郭楚明
6、，《初论数学思想的教学功能》，杨新兴
7、张远增等：《初中数学开放性问题》，华东师范大学出版社，2001年第一版
8、谢树发：《历届全国初中数学竞赛经典试题详解》，农村读物出版社，2003年，第一版
9、陈守义：《生活 数学 社会》上海科学技术出版社，2004年，第一版
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论文出处(作者):whu456