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[摘 要] 中国数学会举办的中国数学奥林匹克竞赛，英文全称Chinese Mathematical Olympiad ，本文以下简称CMO。国际数学教育委员会组织的国际数学奥林匹克竞赛，英文全称International Mathematical Olympiad，本文以下简称IMO。指导教师：曾文艺
随着数学奥林匹克的发展，在我国，各类不同程度、不同层次的数学奥林匹克活动已经成为广大中小学生的一项重要课外活动。数学奥林匹克对于提高中小学数学教育水平、对于提高广大中小学生学习数学的兴趣作用很大。1993年《中国教育改革和发展纲要》颁布以来，素质教育对数学教育学科提出了更高的要求。承蒙导师曾文艺的鼎力支持，本文试图对奥林匹克数学活动的存在意义进行探讨；对如何在初中阶段就开始培养优秀学生的MO思维以便让他们更快地挑战CMO、IMO的可能性、方法和途径也进行了一些有意义的分析总结。
[关键词] MO 思维 异同 培养 初中生
一、 MO简介
[1]数学是人类文化的重要组成部分，是一切科学的工具。由于它本身所具有的高度的抽象性，逻辑的严密性，应用的广泛性等特点，决定了它在学生创造素质的培养中的特殊地位。实践也证明，数学教育在培养学生的创造素质方面是其他学科无法替代的。前苏联著名物理学家卡皮查指出，培养学生创造性思维能力最合适的学科是数学和物理。
1、数学竞赛简史
“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。１９３４年和１９３５年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。数学竞赛虽然是青少年的一种智力竞技，但是它与体育竞赛形式相类似，所以苏联人首创了"数学奥林匹克"这个名词。在类似的以基础科学为竞赛内容的智力竞赛中，数学竞赛历史最悠久，参赛国最多，影响也最大。比较正规的数学竞赛是1894年在匈牙利开始的，迄今已举行过90多届。
2、数学奥林匹克国内赛况
[3]我国的高中数学竞赛始于1956年，由中国科技部下属的中国数学会，奥林匹克数学委员会负责组织和安排。总体上来说1980年前的数学竞赛属于初级阶段，即试题不脱离中学课本。1980年以后，逐渐进入高级阶段。随着我国成功地举办了第31届国际数学奥林匹克，标志着我国的数学竞赛水平已达到国际领先水平。
我国的数学竞赛分初中和高中两个层次。
“全国初中数学联赛”(创办于1984年)，采用“轮流做东”的形式由各省、市、自治区数学竞赛组织机构具体承办，每年4月举行，分为一试和二试。
“全国高中数学联赛”(创办于1981年)，承办方式与初中联赛相同，每年10月举行,分为一试和二试。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营“(每年元月)。 至此，我国的高中数学竞赛形成三级制的模式：每年10月中旬的全国联赛；次年一月的CMO(冬令营)；次年三月开始的国家集训队的训练与选拔。
在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个新的阶段。
二、MO在我国初中素质教育实践中的地位和作用
1、奥林匹克数学及其特征
[4]随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科——竞赛数学，也可称为奥林匹克数学。前中国数学会理事长、中科院院士王元教授指出，将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是高中竞赛数学的任务。
竞赛数学不同于一般的中学数学。一般的中学数学往往追求证明一些概括广泛的定理，而竞赛数学恰恰寻求解决一些特殊的问题。一般的中学数学追求建立一般的理论和方法，而竞赛数学则追求用特殊方法来解决特殊问题；而且一旦某个问题面世，立即作为“陈题”被下一届的竞赛抛弃，命题者又需要继续创造新的问题。因此每当一种解题方法为越来越多的中学教师和学生所掌握，它也就完成了自己的历史使命，脱离了奥林匹克数学，成为中学数学的一部份。
（1）奥林匹克数学是高等数学和初等数学之间的数学。
从历年来的奥林匹克试题及备选题看，奥林匹克数学并不包含高等数学，因为它不超出初等数学和中学数学所能接受的范围。但是它又不同于中学数学教材中的内容，因为它有许多高等数学的背景，采用了很多高等数学中的思想和方法，它包含着比中学数学更为广泛的知识，需要更为灵活的思维和技巧。
（2）奥林匹克数学是现代数学与中学数学之间的桥梁
由于众多的数学家直接参与数学奥林匹克活动，许多奥林匹克数学试题本身就是数学家们的最新成果或科研副产品。因此，现代数学的发展也就很快地影响和渗透到中学数学中去。奥林匹克数学成为现代数学和中学数学之间的桥梁，把现代数学中许多新思想、新方法和新内容源源不断地输入到中学数学，促使中学数学发生一系列的革新，使之跟上时代的步伐。奥林匹克数学不仅延伸了中学数学，而且也给现代数学的一般理论提供了许多具体范例。
（3）灵活性和创造性是奥林匹克数学的精髓。
奥林匹克数学代表了活的数学。虽然不需要借助很多高深的概念、公式和定理，但问题总是变化多端，难度大，对思维的灵活性要求高，使得参赛选手能够最大限度地发挥其创造性。
奥林匹克数学的精髓是灵活性、创造性的思维。因此，那些用常规的方法能够解决的的问题并不属于奥林匹克数学。
2、奥林匹克数学地位和作用
近年来，数学奥林匹克已经成为中小学数学课外活动的重要组成部份，奥林匹克数学的研究也已成为数学教育的重要课题。因此，随着数学奥林匹克和数学教育的不断深化和发展，恰当地评估数学奥林匹克在数学教育中的地位和作用很有必要。
（1）激发了初中生学习数学的兴趣。
数学是一门基础学科，它是一切科学的基础。由于电子计算机的发展，各门科学更趋于深入和成熟，可以由定性研究进入定量研究。另外，数学对逻辑思维能力、抽象思维能力和空间想象能力的提高有着独特的优势和作用。
由于数学竞赛是分级别、金字培式地进行的，所以CMO(高中数学冬令营)之前的竞赛中，试题基本上不脱离中学数学课本范围，适合广大青少年参加。CMO以后的竞赛和培训，需要一些大学老师和数学专业研究人员参与，只能在少数人中拔高进行。
数学竞赛将健康的竞争机制引进青少年的数学学习中，将激发他们的上进心，激发他们的创造性思维，培养自信心。许多学生（包括参赛者和未参赛者）通过数学奥林匹克活动感受到了数学的无限魅力。尤其是参赛者，通过苦苦探索获得了成功的兴奋和快乐，这又反过来激发他们对数学学习的更大兴趣。
（2）促进数学第二课堂的开展，有利于发展学生个性。
我国班级授课制最大的特点是几十个学生一个班。这么多学生，他们的数学能力当然各不相同，这样势必会在不同程度上影响和束缚了具有数学天才的学生的发展。为了充分发挥有潜力学生的学习积极性，利用第二课堂开展数学奥林匹克课外活动是解决这一问题的最好方式，也是贯彻因材施教原则的一种重要手段。数学奥林匹克吸引了一大批学有余力的优秀学生参与。数学竞赛活动不仅是课外活动的一种形式，而且也是对课堂教学的必要补充，同时也使学有余力的学生得到了充分发挥和施展才华的机会。
（3）对中学教学改革具有导向和推动作用。许多数学奥林匹克问题，由于它们的新颖性和启示性，给初等数学的研究开拓了新的前景。同时，由于现代数学的思维模式和思想方法的源源输入，又调动和活化了初等数学潜在的方法和技巧。现代数学的内容、思想和方法通过初等化、具体化、特殊化而不断地渗透到中学数学。既普及了现代数学的知识和方法，又为中学数学注入了新的活力，从而促使中学数学课程的改革和现代化。
数学奥林匹克极大地丰富了初等数学研究的内容，增强了高等数学与初等数学间的联系，使现代数学中某些抽象而不易理解的问题趋于形象化，具体化、初等化。给初等数学注入了新的血液，使古老的初等数学充满了新的活力。
例如这一道第一届IMO试题：求满足不等式 的所有实数。如今这种类型的问题在中学课本中已经比较常见。
（4）培养初中生的创造素质。创造性思维是以各种智力因素、非智力因素和已有的知识为基础的，其显著的特征是新颖性和独创性。数学奥林匹克是青少年才智的角逐。奥林匹克数学是活的数学，没有固定的模式可套，它要求参赛者自己去探索、尝试，通过观察、思考，从而发现规律，找到解决问题的方法。显然创造性思维正是数学奥林匹克竞赛的重要特质。
长期以来，以应试为导向的教育阻碍了学生创造力的发展。人们在日常教学中，非常重视逻辑思维，过分偏重于演绎推理，过分强调形式论证的严密逻辑性的作用。以应试为主的数学教育特别强调学生的“再现性思维”，对非逻辑思维的认识不足。数学竞赛在重视逻辑思维能力培养的同时，也重视培养学生非逻辑思维能力的培养和提高数学美的鉴赏能力，把纯演绎式的教材体系，还原为生动活泼的数学创造思维活动。
非逻辑思维包括形象思维、直觉思维、灵感思维和数学审美等，它在人的创造思维能力中占有举足轻重的作用．数学审美能力在数学学习过程中，起着非智力因素与智力因素之间的桥梁和中介作用，它有助于培养创造性思维能力。法国数学家彭加勒认为，数学创造性思维是逻辑思维与非逻辑思维功能的综合。数学的创造发明过程往往是先通过形象、直觉、灵感、审美等非逻辑思维迅速找出问题的突破口，再通过逻辑思维作出严格的证明。综上所述，非逻辑思维也是打开数学创造大门的一把重要钥匙。
总而言之，数学奥林匹克活动对社会来讲，一般不会有客观上的创新结果，但是在培养学生的创造素质方面极为重要。在优秀初中生中积极大胆地开展数学奥林匹克竞赛，可以更好地达到数学创新教育的目的。[5]
三、优秀初中生MO思维的培养与CMO、IMO要求的同质性。
[6]1、对中学数学思想的基本认识
解答奥数题的过程，实质上是将所学过的数学知识灵活运用的思维过程。在这个过程中，必然要涉及数学思想的问题。数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。从微观方面考察，这个概念包含着对数学各个分支及各种体系结构中特定内容和方法的认识，比如新概念、新模型、新方法和新理论的认识。从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识等。
2、数学思想的特性和作用
数学思想是在数学学科的发展过程中形成的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识以及数学方法的本质规定性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。
(1)数学思想凝聚成数学概念、数学命题、数学原则和方法
我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
(2)数学思想深刻而概括，富有哲理性
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(比如定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
(3)数学思想富有创造性
借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。
总而言之，数学思想是数学知识的精髓，也是知识转化能力的桥梁，它对数学教育具有决定性的指导意义。
数学思想从不同方面看都有不同的分类。通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。所以，从某种意义上说，MO思维具有同质性。这就为优秀初中生挑战CMO、IMO提供了现实可能性。
对比以下的两个例题：
[7]例题1
Y=ax2+bx+c是系数为整数的一元二次方程，试给出适当的a、b、c的值，使△＝ｂ２－4ac=1。
本题可以算作是一道初中结业考试水平的问题，相当于分析不定方程的整数解。详细分析过程如下。
由△＝ｂ２－4ac=1，取最特别的情形c=0，b=1或-1。先进行尝试，由上面的分析知，当b=1时可以找到符合条件的a、b、c。
再试b=2的情形，此时△＝4－4ac=1，ac= ,a、c不可能为整数，所以无解。
继续尝试b=3的情形，此时△＝9－4ac=1，ac=2，a、c可以分别取1或2，得解。
接着再试b=4的情形，此时△＝16－4ac=1，即4ac=15，ac= ，无解。
考察ｂ２－4ac，假若b为偶数，则ｂ２是4的倍数，4ac也是4的倍数，它们的差仍是4的倍数，而1不是4的倍数，所以不存在偶数b能使△＝ｂ２－4ac=1。
再继续考察b是奇数的情形，设b=5，25-4ac=1，ac=6，有解。
设b=7，49-4ac=1，ac=12，也有解。
从上面的解答我们可以猜想b取任何奇数都能找到整数a、c，使△＝ｂ２－4ac=1成立。
上题还可以拓展为：能否找到适当的整数a、b、c,使△＝ｂ２－4ac=2、3、4、……?
[8]例题2
以下是第29届IMO的一道试题：设a、b为正整数，1+ab整除a2+b2。证明：是某个正整数的平方。
其中一位参赛的选手给出的一种解法如下。
先考虑a=b，令 =k，则（2－k）a2=k＞０。
由于ｋ为自然数，故只能是ｋ＝１，从而有a=b＝１，结论正确。
下面我们只须考虑a≠b，由代数式的对称性，不妨设a＞b＞０，令＝ｋ，则a2－bka+b2－k=0。设该方程的二个根分别为a及a′。由韦达定理可以列出方程组
a+a′=bk ………（1）
a﹒a′= b2－k ………（2）
由（1）知，a′必为整数；从另一方面看，由于a′还是二次方程a2－bka+b2-k=0的一个根，将a′代入得a′2－bka′+b2－k=0，稍作整理得a′2 +b2 =k（a′b+1），从而验证了a′为非负整数。
因此，0≤a′= ﹤ = ﹒b﹤b。这说明我们有一组(a′,b)取代(a,b),使得 = = k。因为a′非负,若a′=0,则k= b2,,命题获证。若a′>0,我们把(b,a′)当作原来的(a,b),再作上面的一次变换,经有限次递减后,我们仍然可以找到一组( , ),其中 =0且有 = = k,从而 k= 为非负整数,命题又可获证。
从以上两道题的解答过程中可以看出，尽管IMO试题与一般的初中竞赛试题在对知识水平的要求上，在考核的能力层次方面都有极大的不同，但是它们的解题思路以及在数学思想的运用方面是相通的。
四、初中MO试题与与高中CMO、IMO要求的差异
在培养初中生的MO思维时，既要看到初中与高中两个阶段在数学思维方面的一致性，也要实事求是地看待两者之间在知识、能力的要求方面的巨大差别。在完成日常的初中教学时，不失时机地让那些优秀学生适当提前自学一些高中MO方面的知识， 可以为将来挑战CMO与IMO打下坚实的基础。
1、在命题的原则、范围及要求方面有所不同。
下面列举了我国2009年初中数学联赛的具体命题原则、范围及竞赛要求与全国高中数学联赛的异同点。
（转载自中国科教评价网www.nseac.com ）
初中奥赛的命题范围及题型
高中奥赛的命题范围及题型
预赛
命题范围以《标准》的内容和要求为基本依据，着重考查学生对数学知识的理解以及应用数学知识的能力，预赛把会使用计算器进行计算作为要求，试卷中将增加使用计算器的试题供学生选做。
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考
决赛
以中国数学会普及工作委员会制订的《初中数学竞赛大纲》为准，命题坚持“大众化、普及型、不超纲、不超前”的原则。第一试着重基础知识和基本技能，题型为选择题(6题)，填空题(4题)，共70分；第二试着重分析问题与解决问题的能力，题型为三个解答题，内容分别为代数题，几何题、几何代数综合题或杂题，共70分。两试总会为140。
二试
全国高中数学联赛二试命题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠拢，总的精神是比高中数学大纲的要求略有提高，在知识方面略有扩展，适当增加一些课堂上没有的内容作为课外活动或奥校的讲授内容。
（详细的考核知识点见下表。）
2、竞赛考核的具体知识点方面有很大的差别
（1）初中数学竞赛大纲（修订讨论稿）与高中数学竞赛大纲对数与式的要求的异同：
初中数学竞赛大纲
高中数学竞赛大纲
1．数
2、代数式
3．方程和不等式
4、函数 （科教论文网 Lw.nsEAc.com编辑整理）
整数及进位制表示法，整除性及其判定；
素数和合数，最大公约数与最小公倍数；
奇数和偶数，奇偶性分析；
带余除法和利用余数分类；
完全平方数；
因数分解的表示性，约数个数的计算；
有理数的的概念及表示法、无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
综合除法、余式定理；
因式分解；
拆项、添项、配方、待定系数法；
对称式和轮换对称式：
整式、分式、根式的恒等变形；
恒等式的证明。
含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；
含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；
含绝对值的一元一次不等式；
简单的多元方程组；
简单的不定方程（组）。
y＝|ax＋b|,y＝|ax2＋bx＋c| 及y＝ax2＋b|x|＋c的图象和性质；
二次函数在给定区间的最值，简单分式函数的最值；
含字母系数的二次函数。
1．代 数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。
一元n次方程(多项式)根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，孙子定理*，格点及其质。
（2）初中数学竞赛大纲（修订讨论稿）与高中数学竞赛大纲对几何的要求的异同：
初中数学竞赛大纲
高中数学竞赛大纲
1．几何
三角形中的边角之间的不等关系；
面积及等积变换；
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；
相似形的概念和性质；
圆，四点共圆，圆幂定理；
四种命题及其关系。
1．平面几何
基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理（共4个，见注）
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法*。
平面凸集、凸包及应用。
2．立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图
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论文出处(作者):whu456