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函数概念的“源”与“流(2)

2013-04-25 01:29
   函数概念在这样的历史条件下能动地向前发展，20世纪60年代以后，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念——“关系”。 设集合X、Y，我们定义X与Y的积集 （笛卡尔积）为 ，积集中的子集R称为X与Y的一个关系，若 ，则称x与y有关系R，记为 ，若 ，则称x与y无关系。则从集合X到集合Y的函数 有如下定义：1） 是X与Y的关系，即  ，2)如果 ，必有 ，那么 为X到Y的函数。[11]在此定义中已在形式上回避了“对应”的术语，全部便用了集合论的语言了。
   目前，推广的函数概念的定义中把诸如“算子”和“泛函”（函数的函数，包括某些广义函数）等名词都包含进去了，以适应日新月异发展的数学。我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及相邻学科的发展。
    回顾函数概念的“源”与“流”，我们看到，函数概念逐渐从直观到抽象，从含糊到精确；大致经历了三个阶段：从罗马时代到17世纪中叶：朴素直观、通俗易懂但不严格的描述阶段；17世纪末到19世纪60年代：大致为常量与变量的表述阶段；19世纪70年代到当今：发展到集合与对应，映射与关系抽象定义阶段。这个发展流程与学生认知函数的过程基本一致。因此历史上许多定义都对我们今天的教学有启示作用。例如，早期的函数定义谈到的“解析表达式”、“由曲线确定关系”、“依赖变化”等，尽管其范围狭窄、表述不明确，但生动直观，学生容易理解，所以可以作为正式定义前的铺垫材料；中期的定义除了“变量”、“对应”这两个概念未明确外，总的来说比较严谨，学生也可以接受，所以略加修改就可以作为函数的正式定义。后期的定义只用到集合概念，严谨抽象，中学生不易接受，但对函数的进一步学习与研究以及加深对函数概念的理解大有用处。

（转载自中国科教评价网www.seac.com ）

   当然，在进行数学教育时，根据教育对象理解程度不同而采取不同的函数定义是必要的，有时候还常常借助于几何直观（函数图像）来理解函数概念。人们认识由浅入深，由片面到全面，函数概念也随着学习数学的进步而不断更新完善的。以上我们分析了函数概念的整个发展历程，下面我们来看看数学中真正使用了哪些定义。

 

1.3函数概念的不同表述
初中教材中函数概念的表述：“一般地设在一个变化过程中有两个自变量 与 ，如果对于 的毎一个值， 都有唯一的值与它对应，那么就说 是自变量， 是 的函数。”[12] 该表述与狄利克雷的函数定义类似。此表述的特点很直观，并且明确指出自变量 在某一给定范围可以取任意值,因变量 按一定规律也相应每次取唯一确定值。而此表述相对于初中要掌握的常量、变量、函数（一次函数、二次函数、及其图像、反比例函数和性质）完全够用。而且这个表述对初中生来说，也是容易理解的。
工具书上的定义：《中国大百科全书、数学》为函数单列一条，在讲明“函数是一类依赖关系的一种数学概括” 后定义：“设D是一非空的实数集， 是某一法则。如果对于毎一个数  ， 唯一地确定出一个相对应的实数 ，则称 为定义于D上的一个函数。”[13]
《数学百科辞典》指出：“目前在数学中，函数一词一般是在和映射完全相同的意义下使用的。”在集合A、B之间，当给出使A的各元素对应B的某几个元素的规则，称确定了由A到B的映射。映射也称为函数或者变换。函数在这里已不称其为函数了，成了映射或变换的代名词。[14]
高中教材中的定义1：如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射 ： 就叫做A到B的函数，记作： ，其中 ，原象的集合A叫做函数 的定义域，象的集合  叫做函数 的值域，函数符号 表示“ 是 的函数”，有时简记作函数 。[15] 您可以访问中国科教评价网（www.NsEac.com）查看更多相关的文章。
高中数学教材中定义2:设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有唯一确定的数 和它对应,那么就称 :A  B为从集合A到集合B的函数,记作:  其中 叫做自变量, 的取值范围A叫做函数的定义域,与 值相对应的 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.[16] 高中教材中的定义与康托尔集合论出现后所给出的函数定义类似。是在集合基础上用对应的方式给出的（先定义映射也是用对应的方式给出的），这两个定义更简明、严谨。定义2避开了映射这个定义也避开了映射学习对后继学习的影响。高中要学的所有函数（幂函数、指数函数、对数函数、函数的单调性奇偶性、反函数、三角函数、反三角函数）等均可用这两个定义表示，而且这两个定义相对于高中生的认知水平，也是可以接受的。
数学分析中的定义:给定两个实数集 和 ,若一个对应法则 ,使 内每一个数 ,都有唯一的一个数 与它对应,则称 是定义在数集 上的函数,记作 ： （ ）。数集 称为函数的定义域。对于 中的每一个 根据法则 所对应的 中的数 ,称 为在点 的函数值,常记为 。全体函数值的集合 称为函数的值域。[17]
高等数学中的定义：设在一个变化过程中有两个变量 和 ，若对于 的取值范围内的每一个值，按照某一个确定的对应法则， 有唯一确定的值与之对应，则称 是 函数，记作 ，变量 称为自变量，变量 称为因变量。自变量 的取值范围称为函数的定义域。当自变量在定义域内取定某个值 时，按照确定的对应法则所得到的因变量的相应值 称为函数 在 处的函数值，记作 ，并称函数 在 处有定义。当自变量 在定义域上取值时，相应的函数值全体称为函数 的值域。[18] 由以上的两个定义可以看出，大学教材中的定义是在中学教材中的定义的基础上做了适当修改。

1.4引入函数概念的意义

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从人类数学发展的整个历程来看，一个根本的转折点是17世纪中叶，笛卡尔引入变量。恩格斯给予了高度评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成了必要，而它们也就立刻产生。”[19]也正是由于人们对变量、函数概念的认识，数学科学由初等数学时期（或称常量数学时期）进入了高等数学时期（或称变量时期）。函数概念不仅使得人类数学思维发生了质的飞跃，而且导致了数学科学的蓬勃发展，数学中的许多概念或由函数派生，或由函数统率,或可归之为函数观点研究。因此，可以毫不夸张地说，函数是近、现代数学的基石。