函数概念教学的现状分析(3)
2013-05-02 18:07
导读：调查的目的：了解初三学生对函数概念的认识水平。（在学生学习完了第十三章函数及其图像后进行了此次测试。） 调查结果统计表明：对一个现实背景
调查的目的：了解初三学生对函数概念的认识水平。（在学生学习完了第十三章函数及其图像后进行了此次测试。）
调查结果统计表明：对一个现实背景下的函数关系，初次接触函数的学生理解两个量之间的关系有些困难。这主要体现在问卷的第１道题，两个学校分别有21%和19%的学生搞不清余油量与行驶时间，谁为自变量，谁为因变量。第２道题解方程考察学生对变量的理解。令人吃惊的两个学校分别有７２％和６９％的学生重新解了“新”方程。Ｗagner(1981)在<<Advanced Mathematics Thinking>>一书中谈到对变量的理解:一部分学生接受,认为数保持相同时,字母变化不会对数造成影响；另一部分学生把改变变量字母的问题看作一个新问题，并不发生学习上的迁移。因此调查的结果表明没有发生学习迁移的学生比例偏高。第３道考察学生数形结合的能力，两个学校分别有７５％和６５％的学生把它作为类似于多项式求值问题，求出两个端点的函数值，有些学生还写出了一些可笑的答案，如：“ ”，不能很好地结合图像来解答。第４道题考查学生用所学知识判断函数图像的能力。学生对此题中没有见过的函数图像不会用正确的方法判断。在学生对函数图像的概念表象中，他们认为函数图像要么是直的一条线，要么是弯得像碗一样。而给出解析式去判断是否为函数的正确率要高。对第５道题，考查学生利用函数知识解决实际问题的能力。对此题大部分学生受以往“唯一标准答案的影响”，胡乱的猜测一种就交差了。学生对从实际问题转化为数学问题和建构数学模型的能力相当欠缺。同时深刻地反映出我国传统教育的弊端：从小到大，太习惯于寻找一个标准答案了，不用说数学、物理、
化学，就是语文填空，都只有一个标准答案，慢慢地我们的学生的思维就被统一了，被限制在同一种固定的模式里。让人顿悟为什么我们的产品缺乏核心竞争力？没有差异的教育模式怎么能教育出有差异的人才？没有差异的人才怎么能设计制造出有差异的产品？确实如此，在一个固定的教学模式中，在所有思维指向“标准答案唯一”的框框内，学生是不会产生出创新意识的，也不会有创新能力的，我们的一些陈旧的教育观念已经到了不得不改的地步。笔者提倡有不同层次答案的非终结性问题是突破口之一。在我们的数学思考中必须有非程式、非算法、非形式化的成分，只有把“双基”与其相结合，才能培养出充满生机与活力的智者。
内容来自www.nseac.com 调查２：（问卷２见附件二）
调查对象：娄底三中高一某两个班部分学生共抽取样本100人，(两个班分别随机抽取样本50人)
调查目的：了解高一学生对函数的理解情况与认知水平。（此次调查是学生学习完“函数的单调性”后进行的。）
调查结果：在问卷２中第１题是考察学生对函数定义的理解程度，要求学生用自己的语言写出函数的定义，调查结果并不令人满意。大部分同学是记得书上原定义的部分内容。而没有完全理解好函数的本质。例如：有人写的是“两个量的关系表达式，应用很广的东西。” “用 表示 的一个等式”。这些只知道函数的外在表现形式，其它大部分同学是将初中和高中的函数定义的一部分内容写在答卷上。问卷中的第２道是考察学生数形结合的能力，尽管学生在学习了“函数的单调性”这一部分内容时接触的函数主要是以图像表示，学生利用图像作为表象的能力应有明显的进步，但对于处理函数最值这类问题仍习惯于函数的解析式。例如在此题中，学生中大致有３类典型的解法。
解法１：因为 ，所以 即 ，即可求出最值分别为１３和１５。
解法２： 且 ， ，当 或６时， 取最大值， 。
解法３：画出 的图像，由图形求出最值。
而问卷２中的第３题是考察学生对变量的理解，75％的学生回答正确，有２０％的学生答案为［０，１］。其中部分学生是因为联不等式“ ”解错了，剩下的同学是没有完全理解定义域的本质。第４题考察学生对函数定义的理解，第（１）（２）小题给出了具体的表达式，学生判断的正确率高，而对第（３）小题学生虽然对分段函数有了初步认识，而此题特殊在定义域没有明确给出，有２５％的学生回答错误，而对于第（４）小题，３５％的学生回答错误，表明学生对生活中函数现象不太敏感。第５题是作的顺便调查，关于学生对数学史知识是否重视和掌握。只有少部分学生注意了书上旁边的注解，能够回忆起来。答卷中有人这样写道：“这东西谁关心，不知道。”这从一方面也反映我们的老师没有引起足够重视。第６题全班只有一个人是作出函数图像来解题的。这说明学生习惯于代数式的求解，数形结合的能力有待加强。像这样一道题只要做出了如下图像A4.1，问题都迎刃而解。第７题是一道不定项选择题，有一定难度，学生中答对的不多，说明学生思考问题还不周全。第８题是要求学生写出生活中的一些函数现象。大致写出了：银行利率与时间，水电费与用水量，电话费与打电话的多少，上网费与上网时间，人的身高与体重分别与时间，一天的气温与时间的变化情况，个人所得税与工资，骑车的路程与时间等等，学生所举的例子还是停留在书本出现过的一些生活中的现象。
调查３：（问卷３见附件三）
调查对象：本校数学专业一批即将成为中学数学教师的四年级本科生，共抽取样本
１００人。
调查目的：了解经过８年的函数学习后学生的认知水平。
调查结果：第１题是用自己的语言写出函数的定义，由于大部分同学不记得书上定义了，所以没有像高中同学那样取书上定义的部分内容作为自己的语言。而是从函数定义中蕴含的三要素出发来回答的，有人这样回答的：“函数包括三部分：定义域，对应法则，值域。这三个部分构成了函数。”有人这样回答的：“对于定义域下的任何一个 ，在对应法则 下，都有唯一的 值与它对应的一种特殊映射。”还有人是这样写的：“一个或多个 值，均有唯一的一个 与之对应的一种关系。”等等。大都集中在对函数表现形式上写定义。第２题第（１）小题有６０％的人回答是同一函数，而对（２）小题１００％的人回答不是同一函数。第３题的第（１）小题有２８％的回答是函数，其中有人简单地认为“只要是表达式就是函数”。还有些人认为能画出图像的都是函数，而 的图像是一个圆非常熟悉，理所当然是函数。而对于第（２）小题“ 是不是函数一题”，有４０％的人认为是函数，其中有人认为直线都是函数，而“ ”是表示一成直线，理所当然是函数，还有人认为是常量函数。而对第（３）小题有３６％的人回答不是函数，其中大部分错误地认为根本没有 的出现，不可能表示函数，还有部分同学是认为不存在对应法则，故不可能表示函数。对第４题的回答，有人认为只要能表示成图像的都是函数，所以有部分同学认为全部存在与之对应的函数。上题全部答对占４４％。没有答对的大都没有抓住一个 值只有在都对应而且只对应一个 值时才能构成函数。错误地认为只要能表示成图像的都是函数。第５题，考虑周全的人不多。有人简单的认为是一条上升的直线。如：
