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各向异性介质中的Maxwell方程离散化

2013-05-04 01:25

各向异性介质中的Maxwell方程离散化
2.1 电磁场基础知识
2.1.1 电磁场的Maxwell方程
   电现象和磁现象并非是孤立的，它们是一矛盾统一体整体，麦克斯韦方程组成功完美地再现了宏观电磁场交互变化的全部规律。在任意交变的电磁场中，麦克斯韦方程组[6]表达为：
                     
                        
                        
                                               （2.1.1.1）
它具有以下的特性：
A. 电磁场扰动的传播可以不依赖于电荷及电流而独立存在。方程中的第一式和第三式，决定了磁场在其周围激发涡旋性的变化磁场，而变化的磁场又在其周围激发涡旋性的变化的电场，因此任何一处发生电磁扰动，都会自动地激发起紧邻介质中的电磁场，在这些如此继续下去。因而，电磁扰动的传播是不依赖于电荷及电流而独立存在的。
B．方程的完备性。若电磁场在体积V内各点的初始值，及全部时间内电场和磁场在V的边界上的值为已知，则任何时刻各点的电磁场由麦克斯韦方程唯一确定，该性质体现了麦克斯韦方程的完备性。
C．方程的一致性。方程组中第一式和第四式可以互相推导，两式相一致。类似地第二式和第三式是一致的。
媒介中的电磁性质方程，媒介中的电磁场分布除了与场源有关外，还决定于媒介的性质。我们知道在恒定的场中，对于无限的均匀的各向同性的非铁磁性介质有

                                                  （2.1.1.2）
                                                  （2.1.1.3）
在导体中则有：   式子中分别为媒介的电导率、介电常数和磁导率，均为坐标函数。 是来自其它外来力的等效电场。
实际上，变化电磁场的频率，以及介质温度的变化都会起到这些媒质参数的变化，因而使得介质中的变化电磁场求解问题变得十分复杂，通常为了反映问题的主要方面，可以忽略这些变化因素，从而假定这些参数都是不随频率、温度和时间变化的。
2.1.2 Yee式网格
叶(Yee)式网格是用于解决直角网格中的矢量电磁场问题的一种方法。如图(2.1.2.1)选取直角坐标系XOYOZ，其中Ex、Ey、Ez、分别是为E在各坐标上的投影，Hx、Hy、Hz则分别是H在各坐标轴上的投影，可见叶(Yee)式网格为一空心的立方元，所涉及到的分量交替并存，并可注意到在叶(Yee)式网格中，电场分量总被指定在立方体的边线中心，而磁场分量总被指定在立方体的面之中心。它显示了麦克斯韦方程组中头两个方程表达式的电磁场相互作用的特征关系。   
 
图2.1叶（Yee）式网格图
2.2 Maxwell方程的离散化
2.2.1各向同性介质中Maxwell方程的Yee式网格离散化
在离散化过程中，三维介质离散成正六面体单元，每个单元为一个各向同性均匀电性体。将离散电场分量定义在正六面体单元边的中点，离散磁场分量定义在正六面体单元每个侧面面元的中心，如图（2.1）所示。
假设场的时间变化为 , 其中  ,  是圆频率，频率域中的Maxwell 方程[7]为：
 .                                   (2.2.1.1)
                              (2.2.1.2)
式中 是磁导率，  是各向同性电导率； 表示电场， 表示磁场； 是电流密度。
对式子(2.2.1.1)两边取旋度得：
                      
代入式子(2.2.1.2)整理得：
　　　　　　　　　 　　 　　　 (2.2.1.3)
把 分为背景场 和二次场 ，即  代入式子(2.2.1.3)整理得：
    (2.2.1.4)
又因：           代入式子(2.2.1.4)整理得：
 　　　　  (2.2.1.5)　　　　
由：　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　        (2.2.1.6)
为了简化书写，将 中的下标“ｓ”省去，将式子(2.2.1.6)代入式子(2.2.1.5)
得电场的三个分量方
     (2.2.1.7a)
     (2.2.1.7b)
        (2.2.1.7c)
分别对上述三式离散化：
    以方程(2.2.1.7a)为例导出场分量的离散化方程。按图（2.2.1.1）的场分布离散化，式子(2.2.1.6)右端第一个分量式得到：