公路匝道坐标的复化辛普森公式及用FX-4500P计算器

摘要：本文利用复化辛普森公式导证的计算公路匝道坐标的通用公式。利用fx-4500p计算器编程计算放样点位坐标。

关键词：复化辛普森公式 公路匝道 编程坐标计算

　一、 引言

　　匝道是组成高等及公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。并利用卡西欧fx-4500p计算器编程计算公路匝道点位坐标。

　　二、公路匝道点位坐标计算

　　1. 公路匝道中线形式

　　公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线（r1）—回旋曲线—圆曲线（r2）—回旋曲线—直线的顺序组成的，其中r₁¹r₂。

　　2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算

　　如图1，设回旋曲线起点a的曲率为r_a，其里程为dk_a；回旋曲线终点b的曲率为，其里程为dk_b，ax¢y¢为以a为坐标原点，以a点切线为x¢轴的局部坐标系；axy为线路坐标系。

　　由此回旋曲线上各点曲率半径为r_i和该点离曲线起点的距离ﺎ_i成反比，故此任意点的曲率为

　　 （=r₀为常数）（1）

　　由式（1）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为dk_i点的曲率为

　　 （2）

　　当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。在图1中有

　　 （3）

　　将式（2）代入式（3）得

　　 （4）

　　若已知回旋曲线起点a在线路坐标系下切线坐标方位角α_a，则里程为dk_i点切线坐标方位角为

　　 （5）

　　将式(4)代入式(5)得

　　 （6）

　　对于式(6)，当，时，，则a_i=a_a，式 (6)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，， ，则式(6)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。

　　可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。

　　3、回旋曲线点位坐标计算

　　由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：

　　 （7）

　　 （8）

　　设回旋曲线起点a在线路坐标系下的坐标为将式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：

　　 （9）

　　对于式(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。

　　首先将积分区间[dk_a，dk_i]划分为n等份，步长为h=（dk_i-dk_a）/n，分点里程dx_k=dk_a+kh，k=0，1，2，×××，n，记子区间[dx_k，dx_k+1]的里程为dx_k+1/2，则dx_k+1/2=（dx_k+dx_k+1）/2，k=0，1，2，×××，n-1。

　　由此式(9)用复化辛普森公式表示为

　　 n-1 n-1

　　 x=x_a+h/6´（cosa_a+4∑cosa_k+1/2 +2∑cosa_k +cosa_i）

　　　k=0 k=1

　　 n-1 n-1

　　 y=y_a+h/6´（sina_a+4∑sina_k+1/2 +2∑sina_k +sina_i） （10）

　　 k=0 k=1

　　式中：a_a为回旋曲线起点a的切线方位角；a_k+1/2为里程dx_k+1/2点切线方位角；a_k为里程dx_k点切线方位角；a_i为里程dk_i点切方位角。

　　对于式(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。

中国大学排名

　　三、复化辛普森公式的使用说明

　　为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程dki和各分点里程代入式(2)、(6)、(10)便可获得待求点dki的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。

共2页: 1