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极限思想的辩证思考

2016-05-02 01:05
导读:哲学论文论文,极限思想的辩证思考论文样本,在线游览或下载,科教论文网海量论文供你参考:   摘 要:极限理论贯穿整个微积分学,是微积分的重要内

  摘 要:极限理论贯穿整个微积分学,是微积分的重要内容和难点。认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。通过极限思想与辨证哲学的紧密联系,加强极限思想的辨证理解,有助于数学思维的培养和数学素养的提高。
  关键词:极限思想;辨证哲学;对立统一
  0 引言。
  微积分是研究客观世界运动现象的一门学科,我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述, 用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。极限理论是微积分学的基础理论,贯穿整个微积分学。要学好微积分,必须认识和理解极限理论,而把握极限理论的前提,首先要认识极限思想。极限思想蕴涵着丰富的辩证思想,是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。
  1 极限思想与辩证哲学的联系。
  1.1 极限思想是变与不变的对立统一。
  “变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态,不变是相对的,变是绝对的,但它们在一定条件下又可相互转化。例如,平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。除P 点外曲线上点的斜率k 是变量,kp是不变量,曲线上不同的点对应不同的斜率K,斜率k 不可能等于kp,k 与kp是变与不变的对立关系;同时,它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。当曲线上的点无限接近P 点过程中,斜率k无限接近kp,变化的量向不变的量逐渐接近。当无限接近的结果产生质的飞跃时,变量转化为不变量,即“变”而“不变”,这体现了变与不变的统一关系。
  1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。
  过程和结果在哲学上是辩证统一的关系, 在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。在上例中,当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中,k 是变化过程,kp是变化结果。一方面,无论曲线上点多么接近点P,都不能与点P 重合,同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp,这体现了过程与结果的对立性;另一方面,随着无限接近过程的进行,斜率k 越来越接近kp,二者之间有紧密的联系, 无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp,这体现了过程与结果的统一性。所以,通过研究曲线上点斜率k 的变化过程得到P 点的斜率kp就是过程与结果的对立统一。

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  1.3 极限思想是有限与无限的对立统一。
  在辨证法中,有限与极限是对立统一的。无限与有限有本质的不同, 但二者又有联系, 无限是有限的发展,同时借助极限法,从有限认识无限[2]。例如,在极限式lim n→∞ xn=a 中xn对应数列中的每一项, 这些不同的数值xn既有相对静止性,又有绝对的运动性。数列中的每一项xn和a 都是确定不变的量, 是有限数; 随着n无限增大,有限数xn向a 无限接进,正是这些有限数xn的无限变化,体现了无限运动的变化过程,这种无限运动变化结果是数值。因此在极限思想中无限是有限的发展,有限是无限的结果,他们既是对立又是统一的。
  1.4 极限思想是近似与精确的对立统一。
  近似与精确是对立统一的关系, 在一定条件下可相互转化, 这种转化是理解数学运算的重要方法[2]。
  在极限抽象的概念中,引入实例如“圆内接正多边形面积”,其内结多边形面积是该圆面积的近似值,当多边形的边数无限增大时, 内结多变形面积无限接近圆面积,取极限后就可得到圆面积的精确值,这就是借助极限法,从近似认识精确。又如在极限式lim n→∞ xn=a 中,当n无限增大时,数列的项x1,x2,…,xn反映变量xn无限的变化过程,而a 反映了变量xn无限变化的结果,每个xn都是a 的近似值,并且当n 越大,精确度越高;当n 趋于无穷时,近似值xn转化为精确值a。虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念,但是通过极限法,建立两者之间的联系,在一定条件下可以相互转化。因此近似与精确既是对立又是统一的。

  1.5 极限思想是量变与质变的对立统一。

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