以根的分布为题设的线性规划问题

　　【关键词】根的分布  线性规划  交汇题

　　【论文摘要】由2007年高考全国卷 = 2 \* ROMAN II（文）第22题看出，我们可以构造一类函数与线性规划的交汇题——以根的分布为题设的线性规划问题. 这是因为函数 在区间端点的函数值 ，是讨论一元二次方程 区间根的重要参数.由于 是关于 、 、 的一次表达式，这就为构造以一元二次方程根的分布为题设的线性规划问题创造了条件，同时也符合高考在知识网络的交汇点处命题的思想.近两年的高考题、模拟题中以一元二次方程根的分布为题设的线性规划问题的常见变式有以下三种：变式一：由函数问题导出根的分布特征的线性规划问题；变式二：以根的分布为题设的非线性规划问题；变式三：由函数问题导出根的分布特征的非线性规划问题.

　　【正文】

　　题目 （2007年全国卷Ⅱ，文22）已知函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 .（Ⅰ）证明 ；（Ⅱ）求 的取值范围.

　　解  函数 的导数 ．

　　（Ⅰ）由函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，知 是 的两个根．

　　所以

　　当 时， 为增函数， ，由 ， 得 ．

　　（Ⅱ）在题设下， 等价于

　　         即       

　　此不等式组表示的区域为图1中的阴影区域，不难求得 .

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