希腊几何学的社会文化根源(4)
2013-07-13 01:01
导读：首创诘问式的辩证方法，一种发明观念的矛盾方法，促进了对定义和推论的深化研究。他提出真正的知识基于普遍的定义和归纳的理论。他以逻辑辩论的方
首创“诘问式”的辩证方法，一种“发明观念”的矛盾方法，促进了对“定义”和“推论”的深化研究。他提出“真正的知识基于普遍的定义”和“归纳的理论”。他以逻辑辩论的方式启发思想，揭露矛盾，以辩证思维的方法深入到事物的本质。苏格拉底致力于寻求事物的普遍定义，例如“什么是正义”。他总是以提问的方式揭露对方提出的各种命题、学说中的各种矛盾，以动摇对方论证的基础，指明对方的无知。苏格拉底以此来训练人的逻辑推理能力。
柏拉图不仅是一位法理学家，而且是一位极其重要的数学思想家。“不懂几何者不能入内”是他教育学生、训练思维的主要方法。在数学教育史上，柏拉图是第一个提出以几何学作为训练和提高人的思维能力的哲学家和教育家。在数学方法论上，柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人。他特别关心数学中的证明问题，关心推理过程中的方法论。柏拉图提出数学证明应以某种假设作为出发点，即公理、然后通过一系列逻辑推理，最后达到所要证明的结论。他将这种数学推演过程概括为“假设法”。柏拉图学派把几何学证明方法的发明推向高潮。他们发明了几何证明中的分析法、间接证明中的归谬法。古希腊从柏拉图时代起，数学上要求根据一些公认的原理作出演绎证明，已经成为数学研究中的一个准则。演绎证明是以其正确性已经是众所周知的理论陈述，或者以在一个既定的理论体系中被视为正确的公理为出发点，并以它们为根据，借助于逻辑的最终规则，构成一系列陈述，而这些陈述的最后是可以被论证的命题。每一个相继产生的陈述必须按照最终规则从前一个陈述中产生。数学中纯粹的演绎证明，早已是以相关理论的广泛的形式化为前提。
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法学家、哲学家、数学家欧多克索斯，继承了毕达哥拉斯学派开创的把几何学作为证明的演绎科学进行研究的方向。在同代人，特别是柏拉图学派的研究基础上，初步建立起以公理为依据的演绎法。欧多克索斯的数学思想完全来源于希腊的哲学文化。希腊字假设(hypothesis)，其本意为辩论双方可接受的命题为出发点，不需证明或证实的是基本命题。公理(Axioma)原义乃请求，转义为公理，指基础、研究的出发点。欧多克索斯总结出直接证明的演绎推理手法与间接证明的反证法，分析法和综合法为几何证明中的主导思想方式。
亚里士多德为古希腊哲学文化的集大成者。他倡导“第一哲学”，研究“存在的存在”，作为“是的是”的科学。他认为，思想在推理和证明的过程中的联系、逻辑学定律和规则，是以存在本身的联系为基础的。亚里士多德的形式逻辑，作为工具论，对希腊证明几何学的最终完成，作出了重要贡献。他在《分析篇》中指出：“我们无论如何都是通过证明获得知识的，我所谓的证明是指产生科学知识的三段论。所谓科学知识，是指只要我们把握了它，就能据此知道事物的东西。”[4]他在《论题篇》中指出：“推理是一种论证，其中有一些被假设为前提，另外的判断则必须由它们发生。当推理由此出发的前提是真实的和原初的时……这种推理就是证明的。”[4]亚里士多德明确提出证明三要素：一是有待于证明的结论；二是公理（公理是证明的基础）；三是载体性的种及其规定及依据自身的属性由证明揭示。他还认为，数学是研究形式的，人们通过算术证明几何命题。
亚里士多德的逻辑学是为人们的思维“立法”，它所总结出来的逻辑规律（同一律、矛盾律、排中律）为几何证明提供了一种法度，即有效推理的准则。数学论证必须满足两大条件：真前提或出发点，以及有效的论证。数学推理都是根据矛盾律进行的；反证法的依据是逻辑的排中律。希腊人确信，逻辑是科学的工具，真理是建立在证明之上的，而且是一种“信念”的源泉。理所当然，数学体系的建立离不开思维的逻辑工具。
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四
公元前300年左右，亚历山大里亚的数学家欧几里得站在巨人的肩膀上，运用亚里士多德形式化的逻辑分析和证明理论，终于建立起一个完备的几何学知识体系。他把前人已有的几何学知识充分搜集起来并加以系统化，从中抽出那些最简单、最基本，已被无数经验事实所一再证实了的命题，作为不证自明的公理或公设，再由此出发，以严格的逻辑演绎方法，循序渐进、由简及繁地引出几何学的全部定理，并为之提供了精辟的逻辑证明。《几何原本》的诞生，标志着希腊证明几何学的完成和演绎数学体系的确立。
在《几何原本》里，欧几里得对他以前的和他亲自增补的所有几何问题，作出了严格的逻辑性的叙述。这种叙述是借助于演绎法包含把假定作为基础的某些不要求证明的定义和真理，而一切进一步的原理则用严格的证明作出，这些证明或者是根据这些真理，或者是根据由真理得出的原理。欧几里得倡导的“定义—公设—公理—命题”四步曲，成为数学研究的纲领方法论和数学理论最通用的铺陈方式，以及“已知—求证—证明”的数学演算三段论，对后世的数学发展产生了极其深远的影响。
综上所述，我们可以得出以下结论：希腊几何学从泰勒斯开始，到欧几里得完成，其间经历了萌芽、生长、成熟和定型四个阶段，历经300余年的发展。每一个阶段的演进都受到了希腊理性文化的深刻影响。法律文化中的公理、假设、理由、
