莱布尼茨数学思想的统一性
2013-07-12 01:31
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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（１６４６～１７１６）
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（１６４６～１７１６）对数学有两项突出贡献：发明了符号逻辑和微积分。由于这两项成就分属不同的数学分支，人们也往往将其看作莱布尼茨的两种不同工作，忽视了它们之间的一致性，这为研究莱布尼茨的数学思想、完整地理解数学史和科学发现的规律带来不少困难。本文的目的就是试图理解的揭示这种一致性。
一、符号逻辑： “通用数学语言”
莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。（［１］，ｐ．８）或者说，“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统，利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。在《论组合术》中，二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时，这会成为一种通用语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理；错误，除去那些事实上的错误，只会是计算上的错误。形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的，但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。”（［２］，ｐ．１２３）在１６７９年９月８日给惠更斯的信中他又写道，有一个“完全不同于代数的新符号语言，它对于精确而自然地在脑子里再现（不用图形）依赖于想象的一切有很大的好处。……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理，这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来，因而不得不作出无穷多个无用的试验；另一方面，这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。”（［３］，ｐ．１５１～１５２）
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综合莱布尼茨零零碎碎的设想，他的宏伟规划大体旨在创造两种工具：其一是通用语言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除现存语言的局限性和不规则性，使新语言变成世界上人人会用的具有简明符号、合理规则的语言，规定符号的演变规则与运算规则，使逻辑演变依照一条明确的道路进行下去，进而解决所有可用语言表达的问题。
为此，莱布尼茨做了两方面的努力：一是寻找能够代表所有概念并可认作最根本的不可分析的符号；二是给出表述诸如断定、合取、析取、否定、全称、特殊、条件联结等形式概念的设计。关于第一方面，莱布尼茨首次设想用数目代表原初概念，而逻辑演算则用如同算术中的乘或除来代替。他认为用这种数字的不同方式排列组合，进行各种运算，就可产生无穷多的复合概念。这一思想后来改进为以素数代表基本概念，而复合词项即可借分解相应的数字成为它们的素数因子来加以分析。以“人是理智动物”为例，用素数“３”代表“动物”、“５”代表“理智”，则“人”即以“１５＝３．５”代表。为了更好地构设“通用语言”，莱布尼茨又以设想的“人类概念字母表”为语言词汇基础创制了一些逻辑符号，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下来。
关于第二方面，莱布尼茨的工作大致可以１６７９、１６８６、１６９０三个年代为标志划分为三个阶段。（［４］，ｐｐ．２７１～２７３）
第一阶段，莱布尼茨改进从数字代替概念以其演算，代之以对普通命题经验分析为基础的代数逻辑。他以全称肯定命题“ａ是ｂ”的形式开始，提出五条基本演算规则：（１）ａｂ是ｂａ（交换律）；（２）ａ是ａａ（重言律）；（３）ａ是ａ（同一原则）；（４）ａｂ是ａ或ａｂ是ｂ（化简原则）；（５）如ａ是ｂ且ｂ是ｃ，则ａ是ｃ（传递原则）。以此为据，他证明了同一和包含两个逻辑系词之间的重要关系，即，如ａ是ｂ且ｂ是ａ，则ａ与ｂ是同一的。进而，他又提出四个定理：（１）如ａ是ｂ且ａ是ｃ，则ａ是ｂｃ；（２）如ａ是ｂｃ，则ａ是ｂ且ａ是ｃ；（３）如ａ是ｂ，则ａｃ是ｂｃ；（４）如ａ是ｂ且ｃ是ｄ，则ａｃ是ｂｄ。由此可见，莱布尼茨在第一阶段的逻辑演算已相当完善和科学化，为逻辑的系统化打下了坚实的基础。
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第二阶段，莱布尼茨用等式符号作系词符号，借公式Ａ＝ＢＹ表述全称肯定命题（Ｙ为一未确定的系数，用以修饰Ｂ而使Ｂ成为Ａ的一部分），同时提出双重否定之为肯定，即“非非Ａ＝Ａ”，并由此演释出一系列定理。为了进一步发展演算，莱布尼茨还试图通过与属性组合的关系，用代数方法来描述四个直言命题，甚至对四个直言命题的表示法提出了九个方案。
第三个阶段，莱布尼茨最有价值的工作是罗列了十四个基本命题：（１）Ａ＝Ａ＋Ａ“＋”表示逻辑相乘，下同）；（２）如Ａ＝Ｂ且Ｂ＝Ｃ，则Ａ＝Ｃ；（３）如Ａ＝Ｂ且Ｂ≠Ｃ，则Ａ≠Ｃ；（４）如Ａ＝Ｂ，且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＜Ｃ；（５）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＜Ｂ，则Ｃ＜Ａ；（６）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＝Ｄ；则Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ；（７）如Ａ＝Ｂ，则Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ；（８）Ａ＜Ｂ，则Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｃ；（９）如Ａ＋Ｂ＝Ａ，则Ｂ＜Ａ；（１０）如Ｂ＜Ａ，则Ａ＋Ｂ＝Ａ；（１１）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＜Ｃ；（１２）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ａ，则Ａ＝Ｂ；（１３）如Ａ＜Ｃ且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＋Ｂ＜Ｃ；（１４）如Ａ＜Ｂ且Ｃ＜Ｄ，则Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄ。为适应逻辑相除，
