莱布尼茨数学思想的统一性(6)
2013-07-12 01:31
导读：引发了究竟牛顿和莱布尼茨谁先发明了微积分的长时间争论。为此，英国皇家学会还于１７１２年在其《通讯》上公布了评判结果：微分法和流数法是一回
引发了究竟牛顿和莱布尼茨谁先发明了微积分的长时间争论。为此，英国皇家学会还于１７１２年在其《通讯》上公布了评判结果：“微分法和流数法是一回事，只是名称和记法不同而已；牛顿先生称之为瞬或流数的那些量，莱布尼茨先生称为微积分，并用牛顿先生不曾用过的记法，记作字母ｄ。”（［６］，ｐ．２３５）显然，上述两种看法是截然对立的。由于这种争论只是涉及发明的优先权问题，所以对微积分的进步没有任何益处。但争论也反映出一个问题，即当时的人们（包括牛顿和莱布尼茨本人）除了发觉两种微积分在概念和记法上不同外，并没有看出二者质的联系与差别。关于微积分的基础工作，是两个人去世后很久的事。
众所周知，就牛顿而言，他首先是个物理学家或主要是力学家。这不仅可以从其科学成就看出，而且在其对待微积分的方式上也表露得十分清楚。他称自己的微积分为流数术，即表明主要是为解决流体力学等问题而探讨和使用的新方法。牛顿关于微积分的主要著述有三部：《运用无穷多项方程的分析学》（１６６９）、《流数法和无穷级数》（１６７１）、《曲线求积术》（１６９０）。此外，他的代表作《自然哲学的数学原理》（１６８７）中也有不少论述。这些成果大致反映了牛顿对微积分的研究和认识的三个主要阶段。第一个阶段是静态的无穷小量方法阶段，他象费尔马等人一样把变量看作是无穷小元素的集合；第二个阶段是变量流动生成法阶段，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此把变量叫作流量，把变量的变化率叫流数；第三个阶段是最初比和最终比方法阶段，这种方法是牛顿对第一个阶段无穷小量方法的排除，转向极限观点。牛顿的微积分（流数术）中有三个重要概念：流量、流数和瞬。其中“瞬”是刚刚产生的一种无穷小量。这几个概念的提出，不仅使一切与变化率有关的问题有了统一认识和表述，而且直接揭示了原函数与导函数之间的可逆关系。由此可见，尽管牛顿后来用几何形式表述了微积分基本定理及其它一系列重要命题，但其把物理学作为出发点的做法却是十分明显的。就如他自己所说：“这里，流数术赖以建立的主要原理，及是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，就可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式之下产生的，至少经过类比和调整后可以如此。因此在产生这些具有固定的、可确定的关系的量时，其相对速度一定有增减，因而也就可以作为一个问题提出如何去求它们。”（［１８］，ｐ．Ⅺ）所以，“甚至最草率的牛顿研究者也明显看到，牛顿是一位彻底的经验主义者。”（［１９］，ｐ．１９８）
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从物理经验出发，牛顿把速度、距离、加速度等作为中心概念，以变量ｘ和ｙ的无穷小增量作为求流数（导数）的手段（当增量越来越小时，流数实际上就是增量比的极限）；牛顿更多关心微积分的实际内容和基本方法，一些法则没有充分推广，对普通的讨论较少；他从变化率出发解决面积和体积问题，微分是其基础，通过微分及其逆来解决微积分问题。因此，作为自然科学家的牛顿处理问题十分严谨小心，讲究实在具体。人们认为他迟迟不发表微积分研究成果的原因，可能是因为没有为其基础找到合理的解释所致。德摩根甚至认为牛顿是由“一种病态的害怕别人反对的心理统治了他的一生。”（［２０］，ｐ．６７）这和莱布尼茨那种从几何出发，整体求和的、注重推广和演绎的理性化方式大为不同。由此直接导致了他们所发明的微积分的基本差别：（１）莱布尼茨的微积分是由人工符号语言表述的法则与公式系统，他花了很多时间选择富有提示性的符号；牛顿的微积分主要是用自然语言进行叙述的数学体系，很少涉及符号，他基本认为符号无关紧要。（２）莱布尼茨的研究是从“整体”到“部分”，他首先讨论“和”即积分，用和来得到面积、体积或重心，其出发点是反微分；牛顿的研究是由“部分”到“整体”其基础是微分，他从变化率出发来解决面积和体积问题。（３）莱布尼茨的微分是高阶的，其积分是定积分；牛顿的微分是一阶的，其积分是不定积分。
但是，尽管在出发点、研究方式和表述形式上有巨大的差别，两人仍然创立了同一个微积分，并且彼此互补。经过他们的工作，微积分再不象希腊时期所有数学都是几何学的分支那样，被束缚在几何框架内，而是成为一个崭新的既不同于几何也不同于代数的独立的分析数学。并且，二人都不象他们的先驱那样仅限于解决某些实际问题，而是把微积分建立在一般问题和运算基础上，使之成为具有普遍性的通用方法。他们不再把微分问题和积分问题看作互不相干，而是找到了彼此的互逆关系，建立起微积分基本定理，使面积、体积及以往作为求和来处理的各种问题都归并为反微分，为求积运算开辟了一条新的便捷途径。这样，经过二人不懈的努力，微积分作为“天地间通用”的学科终于获得了资格证书。
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在科学史上，几个人同时创造一项科学成就的事例并不少见。但是，牛顿和莱布尼茨各自从不同的研究传统出发发明了微积分，对数学的进步有着特别的意义。原因在于，微积分处于古代数学向近代数学转折的关节点上。经过微积分，近代以来的数学观及其方法论已大为改观，所以许多讨论近代数学的书往往称“微积分以来的数学”。（［２１］，ｐ．５１）牛顿的工作无疑再一次表明了数学与经验的不可分割性，而莱布尼茨则以自己的探索证明了理性要素在近代数学发展中的增长。３００年后的今天，数学哲学关于数学真理的实在性与非实在性问题的讨论进一步印证了两种数学传统对现代数学的发展都是必不可少的。
同样，莱布尼茨关于通用数学语言的构想，由于过份浪漫和理性化，
