莱布尼茨数学思想的统一性(2)
2013-07-12 01:31
导读：他又引进逻辑相减运算，定义为：如Ｂ包含在Ａ中且Ｃ包括除去内容Ｂ之外的整个Ａ的内容，则Ａ－Ｂ＝Ｃ。如前例人＝动物＋理智即可推为人－理智＝动
他又引进逻辑相减运算，定义为：如Ｂ包含在Ａ中且Ｃ包括除去内容Ｂ之外的整个Ａ的内容，则Ａ－Ｂ＝Ｃ。如前例“人＝动物＋理智”即可推为“人－理智＝动物”。
上述符号构设显示，莱布尼茨的中心思想是致力于以符号表示普遍概念的“通用语言”和以代换法进行数学演算他自称的“通用数学”。就今天的眼光看来，他实际上已经发现了符号逻辑的若干重要原则和定理，触及到后由哈米尔顿所阐发的谓项量化问题，认识到在直言与假言命题之间的基本类比（即原因包含它的结果正如主项包含它的谓项），并且把握了逻辑相加的问题，甚至讨论过非三段论的关系推理。因此，莱布尼茨实际上已探察到后来为布尔和施罗德所发展的逻辑代数的整个基础。数理逻辑学家有没有看过莱氏的著作，知道不知道莱氏的计划，但所作的研究大体上都是沿着莱氏所期望的方向进行的。”（［５］，ｐ．１０）所以，整个数学界都一致公认他是数理逻辑的首创者和真正奠基人。
莱布尼茨的符号数学研究在生前没有公布，结果使数理逻辑的发展延迟了一个半世纪。（［４］，ｐ．１１９）可他关于微积分的成果却由于较早发表而惠泽数学界并引发一场争论持久的历史公案。
二、微积分： “理性的代数学”
１６８４年莱布尼茨在莱比锡的《教师学报》（Acta Eruditorum）上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》（简称《新方法》）的文章。这是他关于微分计算要点的代表作，全文只有六页。１６８６年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章，实际可看作《新方法》的续篇。
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莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。当这两无限减小时，曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时，矩形上面的那个三角形可以忽略不计，此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。
早在１６６６年，莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。（［６］，ｐｐ．２１６～２１７）在帕斯卡三角形中，任意一个元素既等于其上一行左边各项之和，又等于其下一行相邻两项之差；而在调合三角形中，任一元素均是其下一行右边各项之和，也是紧靠其上两项之差。
算术三角形 调合三角形
莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差和微分：
自然数 ０， １， ２， ３， ４， ５， … ｙ
一阶差 １， １， １， １， １， １， … ｄｙ
二阶差 ０， ０， ０， ０， ０， …
自然数平方 ０， １， ４， ９， １６，… ｙ
一阶差 １， ３， ５， ７， … ｄｙ
二阶差 １， ２， ２， ２， … ｄ（ｄｙ）
三阶差 １， ０， ０， …
他把这些与微积分联系起来：一阶差相当于ｄｙ，它们的和等于ｙ，如１＋３＋５＋７＝１６。莱布尼茨认为，这种和与差之间的互逆性，与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值，而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算时，已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。
