谈常见效用函数下临界保费的计算(2)

　　　　　　　　　　　　=aW+aG*-aE[X]+b,

　　　　　　　　　　　　u(W)=aW+b,

　　　　　　　　　　联立两式得　G*=E[X].
　　命题1说明对于风险态度中立的决策者来说,临界保费即是纯保费,但这只是一种理想的情况.命题2　设保险人的效用函数为抛物线型,u(x)=x-αx2,其中α>0,0<x<12α,并且假设理赔X的概率分布为F(x),则此时临界保费为

　　　　　　　　　　　　　　　G*=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).

　　证明　考虑保险人定价的效用方程为

　　　　　　　　U([W+G*-X])=u(W).

　　　　　　　∵U([(W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]

　　　　　　　　　= 12α0[(W+G*-X)-α(W+G*-X)2]dF(x)

　　　　　　　　　　　=W+G*-E[X]-α{(W+G*)2-2(W+G*)×E[X]+E[x2]},

　　　　　　　　　　　　　u(W)=W-αW2,

　　　　　　　　联立两式得下列方程

　　　　　　　　　-α(G*)2+(1-2αW+2αE[X])G*+(2αW -1)E[X]-αE[X2]=0.

　　　　　　　　解关于G*的一元二次方程得

　　　　　　　　　　G*=2αw-1-2αE[X]+(1-2αW)2-4α2σ2(X)-2α

　　　　　　　　　　　=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).

　　　　　　　　特别地,当W=0时,

　　　　　　　　　　G*=E[X]+12α-(12α)2-σ2(X)

　　　　　　　　　　　　≈E[X]+ασ2(X),　　此时σ2(X) 12α.这正是非寿险保费定价中的“方差原理”,因为在金融分析中常用方差(或标准差)来度量风险的大小,方差越大,不确定的程度越大.保险人把它作为一条加费的理由,因而在纯保费E[X]的基础上又多了一项“安全附加费用”.

　　命题3　设保险人的效有函数为指数型,u(x)=-e-αx,α>0,假设理赔X的概率分布为F(x),则此时临界保费为G*=1αlnMX(α),其中MX(α)为理赔随机变量X的矩母函数.证明　考虑保险人定价的效用方程为

　　　　　　　　　　　　　　U([W+G*-X])=u(W).