钢管混凝土拱桥稳定性的计算理论简述(2)

　　0[K]T——单元切线刚度矩阵。

　　U.L列式下，结构的平衡方程为:

　　                                               (1-2)

　　发生第一类稳定前，结构处于初始构形线性平衡状态，因此式(1-1)中大位移矩阵。0[K]T为零。在U.L列式中，不再考虑每个荷载增量步引起的构形变化，所以，不论T.L还是U.L列式，结构的平衡方程的表达形式是统一的:

　　                                               (1-3)

　　在结构处于临界状态下，即使{AR}→0，{△u}也有非零解，按线性代数理论，必有:

  　                                                         (1-4)

　　在小变形情况下，[K]σ与应力水平成正比。由于假定发生第一类失稳前结构是线性的，多数情况下应力与外荷载也为线性关系，因此，若某种参考荷载{   }对应的几何刚度矩阵为[ ]σ，临界荷载为{P}cr=λ{  }，那么在临界荷载作用下结构的几何刚度矩阵为:

　　                                                     （1-5）

　　于是（1-4）为

　　                                       　（1-6）

 　式(1-6)就是第一类线弹性稳定问题的控制方程。稳定问题转化为求方程的最小特征值问题。

　　一般来说，结构的问题是相对于某种特定荷载而言的。在桥梁结构中，结构内力一般由施工过程确定的恒载内力(这部分必须按施工过程逐阶段计算)和后期荷载(如二期恒载·活载·风载)引起的内力两部分组成。因此，[K]σ也可以分成一期恒载的几何刚度矩阵 [Kl]σ和后期恒载的几何刚度矩阵[K2]σ，两部分。当计算是一期恒载稳定问题时，[Kl]σ=0。[K]σ可直接用恒载来计算，这样通过式(3-6)算出的 λ就是一期恒载的稳定安全系数;当计算的是后期荷载的稳定问题时，恒载[K]σ可近似为一常量，式((1 - 6)改写成:

　　                                                （1-7）

　　形成和求解式(1-7)的步骤可简单归结为:

　　1)按施工过程，计算结构恒载内力和恒载几何刚度矩阵[Kl]σ。;

　　2)用后期荷载对结构进行静力分析，求出结构初应力(内力);

　　3)形成结构几何刚度矩阵[K2]σ和式(1-7)

　　4)计算式(1-7)的最小特征值问题。

　　这样，求得的最小特征值兄就是后期荷载的安全系数，相应的特征向量就是失稳模态。

　　1.2 第二类稳定有限元分析

    第二类稳定是指结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的应力使结构切线刚度矩阵趋于奇异时，结构承载能力就达到了极限，稳定性平衡状态开始丧失，稍有挠动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象。

    从力学分析角度看，分析结构的第二类稳定性，就是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性的结构平衡方程，寻找结构极限荷载的过程。

    全过程分析法是用于结构极限承载力分析的一种计算方法，通过逐级增加

　　工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏。

　　2拱桥的平面屈曲

　　2. 1拱桥平面屈曲的基本概念

拱顶的竖直变位v及水平变位u与外荷载q的关系曲线

　　当拱所承担的荷载达到某一临界值时，在竖向平面内，拱轴线偏离初始纯压或主要为受压的对称变形状态，向反对称的弯压平面挠曲转化，称为拱的面内屈曲。拱的面内屈曲有两种不同的形式，第一种形式是在屈曲临界荷载前后，拱的挠曲线发生急剧变化如图1所示，可看作是具有分支点问题的形式，桥梁结构中使用的拱，在体系和构造上多是对称的。当荷载对称的满布于桥上时，如果拱轴线和压力线是吻合的，则在失稳前的平衡状态只有压缩而没有弯曲变形。当荷载逐渐增加至临界值时，平衡就出现由弯曲变形的分支，拱开始发生屈曲。

　　第二种屈曲形式:在非对称荷载作用下，拱在发生竖向位移的同时也产生了水平变位。随着荷载的增加，二个方向的变位在变形形式没有急剧变化的情况下继续增加。当荷载达到了极大值，即临界荷载之后，变位将迅速增加，这类失稳为极值点失稳。求解这类稳定问题的极限荷载，需要采用非线性分析方法。

　　在实际结构中，当满布对称荷载时，拱轴线和压力线也不一定完全吻合，此时拱一开始加载就可能出现带有对称弯曲变形的平衡状态。然而当荷载达到一定的临界值时，拱仍然会发生分支点失稳现象。理论研究表明:初始的对称弯曲变形对拱的反对称屈曲的临界荷载的影响很小。因此，研究拱的平面屈曲时，我们可以近似的假设拱轴线与压力线是吻合的，采用分支点屈曲理论。

　　2. 2拱桥的平面屈曲