钢管混凝土拱桥稳定性的计算理论简述(5)

　　                         （3-1）

　　式中大变形刚度矩阵，

　　由于U.L列式中，平衡方程中的积分在t时刻单元体积内完成，因此代表大挠度的刚度矩阵可以省略，这是T.L列式与U.L列式最大的区别

　　                                            （3-2）

　　3.2材料非线性

　　材料非线性是由材料的非线性应力一应变关系引起基本控制方程的非线性问题。这种非线性特点是材料不满足胡克定律。结构在承受超载时部分材料应力超过比例极限，进入塑性变形范围，破坏与损伤从这些区域开始，导致最终结构失稳。应力超过弹性极限后，材料弹性模量E不再是常数，而是成为应力的函数，导致基本控制方程的非线性。研究材料非线性问题，对于分析结构极限承载力，解冷桥粱非绘性稳宁问题有着十分重要的煮义。

　　考虑材料非线性后，弹性矩阵［D］将不再是常数，而是应变{ε}的函数，从而也是位移{d}的函数

　　 （3-3）

　　其表达式为

　　                                      （3-4）

　　材料非线性问题分析求解时，单元的EI，EA随受力历程不断发生变化，因而[k]不为常量，结构的整体平衡方程是如下的非线性方程组

　　                           （3-5）

　　式中： ——不平衡力； ——与位移相关的刚度矩阵；——节点位移列阵； ——节点荷载列阵。

　　3.3求解方法

　　求解非线性问题的方法基本可分为三类:迭代法，增量法和混合法。

　　（1）迭代法

　　迭代法(总荷载法)，即对总荷载进行线性化处理。采用循环减小内外不平衡力差值，不断逼近极限荷载，直到差值小到规定的值。其中有直接迭代法(割线法)、Newton-Raphson法(切线刚度法)、修正的Newton-Raphson法(初始刚度法)、拟Newton-Raphson法(割线刚度矩阵迭代法的主要应用)等等。

　　直接迭代法较为简单，但收敛速度慢，且可能出现迭代过程的不稳定，实际中较少采用此法。切线刚度法在求解下一个荷载步时会修正结构刚度矩阵，而初始刚度法则克服了在每次迭代过程中必须解全部新方程的困难，使用初始的刚度矩阵，但这样做收敛较慢。

　　用迭代法求解非线性问题时，一次施加全部荷载，然后逐步调整刚度，使基本方程得到满足。迭代法的计算量相对小一些，对计算精度也能加以控制。但迭代法不能给出荷载—位移过程曲线，适用范围也小一些。

　　在迭代法计算中，为了中止迭代过程，必须确定一个收敛的标准。实际应用中，有两种量是常用的:一个是用不平衡节点力;另一个是用位移增量。

　　（2）增量法

　　增量法(逐步法)，即对增量进行线性化处理。将整个荷载变形过程划分为一连串增量段，每一增量段中结构的荷载反应被近似地线性化。增量法实质是用一系列线性问题去近似非线性问题，用分段线性的折线去代替非线性曲线，逐步求解过程就是累积线性弹性解的过程。增量法的主要缺点是无法判断其解偏离精确解的近似程度。

　　常见的有荷载增量法、挠度增量法和曲率增量法，其中用后两种方法较易获得曲线的下降段。在荷载增量法中主要有:Euler-Cauchy法、修正的Euler-Cauchy法、半增量法等。

　　增量法的一个优点是适用范围广泛，即其通用性强;另一个优点是它可提供荷载—位移全过程曲线。但增量法不知道近似解与真解相差多少。

　　（3）混合法

　　混合法则是对同一非线性方程组混合使用增量法和迭代法。如Euler-Newton法、Euler-修正的Newton法、Euler-拟Newton法、Eule一次迭代法，等等。混合法综合了迭代法和增量法的优点，某种程度上克服了各自的缺点，虽然计算量更大，但计算精度提高了，而且可以判断每一增量步终了时刻解的近似程度，尤其在荷载，变形的全过程分析中，需要比较准确的输出每一荷载增量末的位移值，此时采用混合法是较好的选择。

　　4结语

　　众所周知，实际拱的失稳大部分属于第二类稳定，二类失稳实际是非线性作用的结果，目前采用的线弹性理论会过高的估计安全系数。所以，精确地给出计入非线性后对稳定计算的影响是非常重要的。随着拱桥跨度越来越大，原有的计算方法已经不能满足工程需要，对拱桥稳定性考虑非线性计算，已成为桥梁学者研究的方向。本文只是简单地介绍了一下稳定性计算理论和方法。

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