“尚未成功”的突破(1)(2)
2017-08-14 06:38
导读：Ｘ＝1， Ｙ＝1． ぁ∽饕徊酵评恚直线④也通过点（1，1），于是 ｘ＋ｙ＋ｚ＝0． 与文［3］相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点： 第1，从
Ｘ＝1，
Ｙ＝1．
ぁ∽饕徊酵评恚直线④也通过点（1，1），于是
ｘ＋ｙ＋ｚ＝0．
与文［3］相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点：
第1，从失败的解题中获取一条有用的信息，即③式．
第2，对①式、③式都作“着眼点的转移”，从解析几何的角度去看它们．
有了这两步，剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成．
2．个案2—尚未成功不等于失败
设ｆ（ｎ）为关于ｎ的正项递增数列，Ｍ为大于ｆ（1）的正常数，当用数学归纳法来证不等式
ｆ（ｎ）＜Ｍ（ｎ∈Ｎ）
①
时，其第2步会出现这样的情况：假设ｆ（ｋ）＜Ｍ，则
ｆ（ｋ＋1）＝ｆ（ｋ）＋ａ（ａ＝ｆ（ｋ＋1）－ｆ（ｋ）＞0）＜Ｍ＋ａ，
②
无法推出ｆ（ｋ＋1）＜Ｍ．
据此，许多人建议，用加强命题的办法来处理，还有人得出这样的命题（见文［4］Ｐ．32及文［5］Ｐ．12）：
命题 设｛ｆ（ｎ）｝为关于ｎ的正项递增数列，Ｍ为正常数，则不等式ｆ（ｎ）＜Ｍ（ｎ∈Ｎ）不能直接用数学归纳法证明．
评析：不等式①没能用递推式②证出来，有两种可能，其一是数学归纳法的功力不足，其二是数学归纳法的使用不当．把“不会用”当作“不能用”，其损失是无法弥补的．
（转载自http://zw.nseac.coM科教作文网）
我们分析上述处理的“尚未成功”，关键在于递推式②，这促使我们思考：ｆ（ｋ＋1）与ｆ（ｋ）之间难道只有一种递推关系吗？
确实，有的函数式其ｆ（ｋ＋1）与ｆ（ｋ）之间的关系很复杂，无法用数学归纳法来直接证明；而有的关系则较简单，仅用加减乘除就可以表达出来．但无论是“很复杂”还是“较简单”，其表达式都未必惟一，文［6］Ｐ．278给出过一个反例，说明上述“命题”不真：
例2 用数学归纳法证明
ｆ（ｎ）＝1＋（1／2）＋（1／22）＋…＋（1／2ｎ－1）＜2．
讲解：当ｎ＝1时，命题显然成立．
现假设ｆ（ｋ）＜2，则
ｆ（ｋ＋1）＝ｆ（ｋ）＋（1／2ｋ）＜2＋（1／2ｋ），
由于2＋（1／2ｋ）恒大于2，所以数学归纳法证题尚未成功．
然而，这仅是“方法使用不当”．换一种递推方式，证明并不困难．
ｆ（ｋ＋1）＝1＋（1／2）ｆ（ｋ）＜1＋（1／2）×2＝2．
下面一个反例直接取自文［4］的例2．
例3 求证（1／1！）＋（1／2！）＋（1／3！）＋…＋（1／ｎ！）＜2．
证明：当ｎ＝1时，命题显然成立．
假设ｎ＝ｋ时命题成立，则
（1／1！）＋（1／2！）＋…＋（1／ｋ！）＋［1／（ｋ＋1）！］
＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／ｋ）·［1／（ｋ－1）！］＋［1／（ｋ＋1）］·（1／ｋ！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2！）＋…＋［1／（ｋ－1）！］＋（1／ｋ！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．
