“尚未成功”的突破(1)(3)
2017-08-14 06:38
导读：这表明ｎ＝ｋ＋1时命题成立． 由数学归纳法知，不等式已获证． 3．个案3—对尚未成功的环节继续反思 文［7］有很好的立意也有很好的标题，叫做“反
这表明ｎ＝ｋ＋1时命题成立．
由数学归纳法知，不等式已获证．
3．个案3—对尚未成功的环节继续反思
文［7］有很好的立意也有很好的标题，叫做“反思通解·引出简解·创造巧解”，它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程：
例4 二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点（－1，0），是否存在常数ａ、ｂ、ｃ使不等式
对一切实数ｘ都成立？若存在，求出ａ、ｂ、ｃ；若不存在，说明理由．
讲解：作者从解两个二次不等式
（ｘ2＋1）／2－ｆ（ｘ）≥0，
ｆ（ｘ）－ｘ≥0．
开始（解法1），经过数形结合的思考（解法2）等过程，最后“经学生相互讨论后得到巧解”（解法4）：由基本不等式
对一切实数ｘ都成立，猜想
经检验，ｆ（ｘ）满足条件ｆ（－1）＝0，所以ｆ（ｘ）存在，ａ＝（1／4），ｂ＝（1／2），ｃ＝（1／4）．
（科教论文网 lw.nseaC.Com编辑发布）
我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出ａ、ｂ、ｃ”应该理解为“若存在，求出一切ａ、ｂ、ｃ”．从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的逻辑疑点：诚然，③式是满足①的一个解，但是在ｘ与（ｘ2＋1）／2之间的二次函数很多，如
ｆ1（ｘ）＝（1／2）ｘ＋（1／2）（ｘ2＋1）／2，
ｆ2（ｘ）＝（1／3）ｘ＋（2／3）（ｘ2＋1）／2，
ｆ3（ｘ）＝（1／4）ｘ＋（3／4）（ｘ2＋1）／2，
……
这当中有的经过点（－1，0），有的不经过点（－1，0），巧解已经验证了ｆ1（ｘ）经过点（－1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（－1，0）呢？
也就是说，“巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”．究其原因，是未找出ｘ与（ｘ2＋1／2）之间的所有的二次函数．抓住这一尚未成功的环节继续思考，我们想到定比分点公式，①式可以改写为
ｆ（ｘ）＝｛［（ｘ2＋1）／2］＋λｘ｝／（1＋λ）（λ＞0），
